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Equation avec fonction bijective



  1. #1
    FAN FAN

    Equation avec fonction bijective


    ------

    Voici un petit problème pour lequel, je ne vois pas la solution qui pourtant doit exister:

    Soit f une bijection E ~~ F et a € E
    Je cherche la solution x € F solution de l'équation
    f(x) = f-1(a) ??

    Merci à qui pourra m'éclairer.

    -----

  2. #2
    taladris

    Re : Equation avec fonction bijective

    Salut, il doit y avoir une erreur dans ton énoncé: Si a est élément de E, alors n'est pas défini. De même, si , f(x) n'est pas défini.

    Je pense que ton équation est plutôt . Cette équation n'a pas de solution en général. En effet, et , comment pourraient-ils être égaux?? (par exemple, si E=R et F=R²)
    Il te faut des contraintes sur E,F et a.

  3. #3
    ericcc

    Re : Equation avec fonction bijective

    f est une bijection de E dans F, donc f-1 est une bijection de F dans E. Comme te le dit Taladris f-1(a) n'existe donc pas pour a dans E, mais pour a dans F.
    Supposons que tu cherches la solution de l'équation f(x)=f-1(a) avec a dans F et x dans E.
    Comme f est bijective, la solution est simplement f-1(f-1(a))

  4. #4
    FAN FAN

    Re : Equation avec fonction bijective

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    f est une bijection de E dans F, donc f-1 est une bijection de F dans E. Comme te le dit Taladris f-1(a) n'existe donc pas pour a dans E, mais pour a dans F.
    Supposons que tu cherches la solution de l'équation f(x)=f-1(a) avec a dans F et x dans E.
    Comme f est bijective, la solution est simplement f-1(f-1(a))

    Oui, bien sûr, il faut a € F et alors la solution est alors bien comme tu dis. Le problème était mal posé. Mille excuses !
    Merci pour vos réponses.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    taladris

    Re : Equation avec fonction bijective

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    f est une bijection de E dans F, donc f-1 est une bijection de F dans E. Comme te le dit Taladris f-1(a) n'existe donc pas pour a dans E, mais pour a dans F.
    Supposons que tu cherches la solution de l'équation f(x)=f-1(a) avec a dans F et x dans E.
    Comme f est bijective, la solution est simplement f-1(f-1(a))
    Il faut quand même que ait un sens (cf ma remarque sur les contraintes portants sur E et F dans mon message précédent)

  7. #6
    ericcc

    Re : Equation avec fonction bijective

    Oui tu as raison, j'ai répondu trop vite si E est différent de F, cette écriture n'a pas vraiment de sens.

  8. #7
    FAN FAN

    Re : Equation avec fonction bijective

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Il faut quand même que ait un sens (cf ma remarque sur les contraintes portants sur E et F dans mon message précédent)
    Il me semble que l'existence de découle de l'hypothèse de bijectivité de f ?

  9. #8
    Thorin

    Re : Equation avec fonction bijective

    Si on prend la fonction f allant de l'ensemble des entiers strictement positifs vers l'ensemble des entiers strictement négatifs, et qui à un entier associe l'entier , la fonction est bien bijective, mais...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  10. #9
    FAN FAN

    Re : Equation avec fonction bijective

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Si on prend la fonction f allant de l'ensemble des entiers strictement positifs vers l'ensemble des entiers strictement négatifs, et qui à un entier associe l'entier , la fonction est bien bijective, mais...
    Exact, f-1°f-1 peut ne pas être définie si E et F sont différents.
    Merci pour ton contre-exemple très pertinent.

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