Equation avec fonction bijective

[invite97a526b6]

Voici un petit problème pour lequel, je ne vois pas la solution qui pourtant doit exister:

Soit f une bijection E ~~ F et a € E
Je cherche la solution x € F solution de l'équation
f(x) = f^-1(a) ??

Merci à qui pourra m'éclairer.
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[invite14e03d2a]

Salut, il doit y avoir une erreur dans ton énoncé: Si a est élément de E, alors n'est pas défini. De même, si , f(x) n'est pas défini.

Je pense que ton équation est plutôt . Cette équation n'a pas de solution en général. En effet, et , comment pourraient-ils être égaux?? (par exemple, si E=R et F=R²)
Il te faut des contraintes sur E,F et a.

[inviteaf1870ed]

f est une bijection de E dans F, donc f^-1 est une bijection de F dans E. Comme te le dit Taladris f^-1(a) n'existe donc pas pour a dans E, mais pour a dans F.
Supposons que tu cherches la solution de l'équation f(x)=f^-1(a) avec a dans F et x dans E.
Comme f est bijective, la solution est simplement f^-1(f^-1(a))

[invite97a526b6]

f est une bijection de E dans F, donc f^-1 est une bijection de F dans E. Comme te le dit Taladris f^-1(a) n'existe donc pas pour a dans E, mais pour a dans F.
Supposons que tu cherches la solution de l'équation f(x)=f^-1(a) avec a dans F et x dans E.
Comme f est bijective, la solution est simplement f^-1(f^-1(a))

Oui, bien sûr, il faut a € F et alors la solution est alors bien comme tu dis. Le problème était mal posé. Mille excuses !
Merci pour vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

f est une bijection de E dans F, donc f^-1 est une bijection de F dans E. Comme te le dit Taladris f^-1(a) n'existe donc pas pour a dans E, mais pour a dans F.
Supposons que tu cherches la solution de l'équation f(x)=f^-1(a) avec a dans F et x dans E.
Comme f est bijective, la solution est simplement f^-1(f^-1(a))

Il faut quand même que ait un sens (cf ma remarque sur les contraintes portants sur E et F dans mon message précédent)

[inviteaf1870ed]

Oui tu as raison, j'ai répondu trop vite si E est différent de F, cette écriture n'a pas vraiment de sens.

[invite97a526b6]

Il faut quand même que ait un sens (cf ma remarque sur les contraintes portants sur E et F dans mon message précédent)

Il me semble que l'existence de découle de l'hypothèse de bijectivité de f ?

[invitec317278e]

Si on prend la fonction f allant de l'ensemble des entiers strictement positifs vers l'ensemble des entiers strictement négatifs, et qui à un entier associe l'entier , la fonction est bien bijective, mais...

[invite97a526b6]

Si on prend la fonction f allant de l'ensemble des entiers strictement positifs vers l'ensemble des entiers strictement négatifs, et qui à un entier associe l'entier , la fonction est bien bijective, mais...

Exact, f^-1°f^-1 peut ne pas être définie si E et F sont différents.
Merci pour ton contre-exemple très pertinent.