Recherche de formule mathématique pour une pyramide tronquée

[invitef9d4503f]

Bonjour,

Je cherche une formule mathématique. Je vous explique mon problème simplement :

Le but est en gros d'empiler des objets les un sur les autres, sachant que la ligne du dessus contient un élément de moins que celle du dessus. Je cherche une formule mathématique me donnant le nombre d'objet sur la rangée toout en bas en fonction du nombre total d'objet et du nombre de hauteur maximum.

Exemple 1:

Nombre d'objet : 7
Nombre de hauteur : 2

OOO
OOOO

nombre d'objets sur la dernière ligne : 4 (Nombre cherché)

Exemple 2 :

Nombre d'objet : 14
Nombre de hauteur : 3

OOO
OOOOO
OOOOOO

Nombre d'objet sur la dernière ligne : 6 (nombre cherché)



Si quel'un peut m'aider à retrouver la formule mathématique, ca serrait gentil
Merci
-----

[gg0]

Bonjour.

Détermine le nombre N d'objets total pour une pyramide de n objets dans la première couche et de k couches. Pour quelqu'un qui pose la question dans ce forum, c'est immédiat (et même pour un élève de lycée qui vient de voir les suites arithmétiques). Puis résous l'équation N=a où a est le nombre d'objets (connu, ainsi que k) d'inconnue k.

Bon travail !

A noter : Si a est quelconque, il n'y a généralement pas de réponse. par exemple pour a= 4 et k=5

[invitef9d4503f]

J'ai pas vraiment tout compris à ta réponse gg0 :

Je sais qu'avec une suite arithmétique on peut faire la somme des n de 1 à k est égal a N

Mais je le voudrais pas sous une forme de suite, mais trouver la fonction f tel que n = f(N,k)

peux tu me faire un exemple de ta réponse stp ?

°

J'étais partis sur :
N/k + k/2

le calcul du nombre d'objet au milieu de cette pyramide tronquée, et rajouter une unité pour chaque ligne entre ce milieu et la ligne du bas. Mais si j'ai un nombre impaire de ligne, ca ne marche plus. Ou faudrait que je soustrais 0,5 pour les nombres impaires.

Si un élève de lycée y arrive c'est qu'alors c'est trop loin pour moi dans ma tête c'est beaucoup plus compliqué que ca

[gg0]

le nombre total d'objets est
N=n+(n-1)+(n-2)+...+(n-k+1)
Un petit coup de calcul de somme de termes d'une suite géométrique donne N en fonction de n et k (*)
Puis tu poses ton problème et tu résous ...

Pourquoi avoir besoin d'une formule ?

Cordialement.

(*) si u est une suite arithmétique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef9d4503f]

Mais c'est pas N que je cherche mais n Faut résoudre l'équation dans l'autre sens

C'est pour intégrer dans un programme, mais sans l'utilisation de connecteur logique tel que SI ET OU etc, et le faire sous forme de suite arithmétique est beaucoup trop compliqué.

[gg0]

Ben oui, " Faut résoudre l'équation dans l'autre sens". fais-le, c'est quasiment évident.

Là, tu donnes l'impression que tu veux qu'on fasse le travail à ta place ... alors qu'il te suffit de le faire toi-même.

Une remarque : J'ai mélangé les notations : "Puis résous l'équation N=a où a est le nombre d'objets (connu, ainsi que k) d'inconnue k" Est faux et à remplacer par "Puis résous l'équation N=a où a est le nombre d'objets (connu, ainsi que k) d'inconnue n". mais c'est évident, si k est connu, ce n'est pas l'inconnue.

On a à résoudre une équation du second degré dont une seule solution est positive. Comme une racine carrée apparaît, il faudra éviter les problèmes éventuels d'approximation.

Cordialement.

NB : Si tu as une bonne raison de ne pas pouvoir faire ces calculs de lycéen, dis-la.

[invitef9d4503f]

"Là, tu donnes l'impression que tu veux qu'on fasse le travail à ta place ... alors qu'il te suffit de le faire toi-même"

Ca fait deux jours, que je me prends la tête la dessus.

J’espérais un peu d'aide pour résoudre ce problème. mais je dois avouer que ton amabilité et tes explications peu claire de m'aide pas vraiment. Et a part me dire que N et k sont connues et n inconnue je vois pas en quoi ca m'aide.

Je sais résoudre une équation ou calculer des suites arithmétiques, mais la je ne sais pas dans quel sens prendre cette formule.

J'ai posté pour avoir un coup de main, pas pour me faire prendre de haut parce que c'est soit disant un problème de lycéen. Si c'est un problème de lycéen alors je dois pas avoir le niveau lycée

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Je sais qu'avec une suite arithmétique on peut faire la somme des n de 1 à k est égal a N

Je sais résoudre une équation ou calculer des suites arithmétiques

Donc vous pouvez écrire N = f(n, k), où n est le nombre cherché, puisque c'est une suite arithmétique de raison (-1).
Ecrivez cette équation, et ensuite tentez de la résoudre (c'est à dire trouver n sous la forme n = g(N, k)), si vous êtes bloqué dans cette dernière étape, postez ce que vous aurez fait, et on pourra vous aider.

[invitef9d4503f]

J'ai peut etre aussi oublié de preciser que le -1 objet par rapport a la ligne inférieur est obligatoire mais il peut y en avoir -2 aussi comme dans l'exemple 2

OOO
OOOOO
OOOOOO

J'aurai du exprimer ca sans doute plus clairement :

reprennont l'exemple :

Nombre d'objet : 14
Nombre de hauteur : 3

OOO
OOOOO
OOOOOO

=

OOO
OOOO
OOOOO

+

O
O

finalité = pyramide tronquée + mes x objets restants

6 = 5 + 1

Nombre d'objet sur la dernière ligne : 6 (nombre cherché)

[invitef9d4503f]

Mais je le voudrais pas sous une forme de suite, mais trouver la fonction f tel que n = f(N,k)

Je sais résoudre une suite, mais je viens de dire que je cherchais une fonction lineaires

[Médiat]

J'ai peut etre aussi oublié de preciser que le -1 objet par rapport a la ligne inférieur est obligatoire mais il peut y en avoir -2

J'aurai du exprimer ca sans doute plus clairement :

Pour moi ce n'est pas clair du tout, vous avez oublié -2, mais pourquoi pas 0 ou -3 ?

De plus :

Nombre d'objet : 18
Nombre de hauteur : 4
OOO
OOOO
OOOOO
OOOOOO
Réponse = 6

Nombre d'objet : 18
Nombre de hauteur : 4
OO
OOOO
OOOOO
OOOOOOO
Réponse = 7

Quelle solution choisir ?

[invitef9d4503f]

Je recommence :

Le but est d'empiler des objet les uns sur les autres, en connaissant :
- le nombre d'objet
- le nombre de ligne

pour trouver le nombre d'objet sur la ligne inférieur
le but est bien sur d'avoir le moins d'objet possible sur la dernière ligne.

Donc pour :
Nombre d'objet : 18
Nombre de hauteur : 4
OOO
OOOO
OOOOO
OOOOOO
Réponse = 6

mais pour :
Nombre d'objet : 20
Nombre de hauteur : 4
OOO
OOOO
OOOOO O
OOOOOO O
Réponse = 6 + 1

On s'assure que la pyramide tronquée soit complète avant d'ajouter un nouvel objet sur la ligne inférieur.

Il y a toujours au minimum - 1 imposé, voir - 2 quand on y est obligé, entre les lignes, dans un soucis d'optimisation on va dire que -3 est impossible.

[azizovsky]

Salut , comme je suis carreleur , des fois ,je doit calculer le nombres de carreaux au dessous de l'escalier et de palier , pour des carreaux carrés , je doit savoir la longueur du palier et celle de la base et ici la pente de la droite qui représente l'escalier pour les carrés est on'a
dans ce cas combien de carreaux pour un trapéze réctangle () et pour une hauteur (sans carreaux coupés) ,mais si j'ai carrés , à quelle hauteur je peut monter :combien de ligne je peut faire pour gagner ma journée ? (je cois c'est la même phénoménologie)

[Médiat]

Avec l'énoncé complet, c'est plus facile !

Puisque vous savez le faire, pouvez-vous écrire, pour une suite arithmétique (de raison -1), à quoi est égal N (le nombre total d'objets), en fonction de k (le nombre de lignes), et n le nombre d'objets sur la dernière ligne, autrement dit N=h(n ,k)...

[invitef9d4503f]

avec n_i = 0 et n_j = 0
l : nombre d'objet dernière ligne
k : nombre de ligne
N : nombre total
x : 0< x < k-1

J'espere que j'ai pas fait d'erreur en recopiant, ca m'a un peu perdu.

x en faite est la dernière colonne incomplète.
Le truc c'est que N est connue et n inconnue, donc on ne peux connaitre x que si on connait N en gros, donc dans cette équation je vois pas commener l'incrementer.

Ni comment retourner cette équation.

[Médiat]

Bonjour,

Bravo pour l'effort d'écrire en Latex, mais ce n'est pas du tout ce que je vous ai demandé.

En fait pour résoudre votre problème, il suffit de remarquer que la solution est toujours une solution "régulière" (que des -1) + (moins de k objets supplémentaires), et qu'il y a toujours, au plus un saut de -2 au lieu -1 (pour affirmer cela il fallait avoir l'information que vous voulez le minimum), or dès que vous aurez écrit l'équation que je vous propose d'écrire, ce fait devrait apparaître.

[invite51d17075]

Approche heuristique.
Les pyramides pures à n étages sont constituées de
Etages : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,…( égal nb d’objets en bas )
Objets : 1 , 3 , 6 , 10,15,21,28,36
Si le nb d’objets = nb « parfait » => solution immédiate,
Sinon il faut rajouter un objet par ligne en partant du bas.
Donc le résultat ( nb en bas ) sera celui du nb d’étage correspondant au nb parfait inférieur +1
( et pas d’avantage sinon on retombe sur le nb parfait suivant ).

Exemple :
34 boules => nb parfait inférieur 28 soit 7 en bas +1 au total = 8 en bas.

[Médiat]

J'étais partis sur : N/k + k/2

En supposant que vous voulez dire arrondi de N/k + k/2 avec .5 arrondi à 0 et non à 1, ce résultat est correct, mais semble découler plus de l'empirisme que de la démonstration.

[invitef9d4503f]

@ Médiat : C'est que justement je ne vois pas la régularité de cette équation. Et puis je suis au boulot j'y reflechis vraiment entre deux trucs, j'avoue qu'a y reflechir puis passer à autre chose pour y revenir, je m'y suis un peu perdu aujourd'hui, je sais plus du tout ou j'en suis dans ce probleme.

Je truc qui me pose problème c'est justement comme le souligne Ansset c'est que si c'est pas un "nb parfait" je ne sais pas comment l'integrer dans cette équation. Et je ne vois pas au final non plus comment au final on transforme cette suite en une fonction linéaire, qui n'est pas une suite donc.

Pour le N/k + k/2, c'était plutot une idée d'approche, comme quoi je calcul la moyenne de ce trapeze rectancle, puis j'acoute + 1 pour chaque ligne. c'était pour voir si on pouvait partir la dessus, si quelqu'un avait une idée.

@ansset : je te remercie mais je savais deja, ca fait deux jour que je dessine des pyramides, en modifiant leur morphologie pour essayer d'en sortir une équation et voir si justement il y a une équation "régulière" à ce problème.
Ca me fait remarquer que je me suis trompé en écrivant l'équation c'était pas la somme des n_i-1 + i mais juste la somme des i

[Médiat]

Répondez à cette question, et vous aurez, presque, la réponse complète :

Puisque vous savez le faire, pouvez-vous écrire, pour une suite arithmétique (de raison -1), à quoi est égal N (le nombre total d'objets), en fonction de k (le nombre de lignes), et n le nombre d'objets sur la dernière ligne, autrement dit N=h(n ,k)...

[invitef9d4503f]

Quand j'ai dis que je savais faire, dans ma tête ca me semblait plus simple :

N = somme ( i ) - somme (j) - x
avec 0 <i<n
et 0 < j < (n-k)

x le nombre d'objet manquant pour qu'il n'y ait aucun saut de -2
x = N - (somme(i) - somme(j) évidement

j'avoue que j'suis totalement perdu. Ca fait 3 ans que j'ai pas fait de math et le fait que dans ce sens c'est impossible a résoudre parce qu'on connait pas le nombre de x... ca m'aide pas

[invite51d17075]

Si le nb total d’éléments est idéal , alors N=n(n+1)/2
Avec n = nb d’étage et nb d’éléments de l’étage du bas.
D’ou
n²+n-2N=0 soit pris comme une équation du second degré
x=(-1+rac(1+8N))/2
si x est entier alors n=x est le nb d’étages et de boules en bas.
La pyramide est parfaite.

Sinon la solution est
n=E(x)+1 nb d’elts en bas ( E : partie entière de x )
et n-1 étages.

Répartition dans ce cas :
Les m éléments superflus N-(E(x))(E(x)+1)/2 sont répartis sur les m lignes du bas.

[invitef9d4503f]

@ansset :

Soit tu n'as pas bien compris ce que je demande

Soit (et je le souhaite) c'est moi qui comprends rien à ta réponse et à toutes vos explications...
Peux tu me faire un exemple de ta méthode avec
nombre d'objet : 19
nombre de ligne : 4

[invite51d17075]

Effectivement,
Je n’avais pas saisi que tu t’imposais un nb de lignes. désolé.
Auquel cas, retour à la formulation que te suggère Médiat.
cordialement.

[invitef9d4503f]

Après discussion avec mes collègues, cette formule nous semble tout simplement impossible à trouver : puisque nous cherchons une fonction lineaire alors que le resultat doit dans tous les cas etre un entier.
Merci à tous d'avoir répondu quand même. Si quelqu'un à une solution je suis quand même preneur

Je pense qu'on était beaucoup trop ambitieux vendredi soir quand on s'est lancé la dedans.

Cordialement.

[invite51d17075]

Sinon,
Je commencerai par une pyramide de base idéale à 4 lignes, soit 10 objets.
Reste 9 objets à répartir sur 4 lignes.
9=4*2+1 (*)
Ligne du bas = 4+2+1=7 objets

Pour faire ce calcul automatiquement , utiliser les congruences.

[azizovsky]

@ansset :

Soit tu n'as pas bien compris ce que je demande

Soit (et je le souhaite) c'est moi qui comprends rien à ta réponse et à toutes vos explications...
Peux tu me faire un exemple de ta méthode avec
nombre d'objet : 19
nombre de ligne : 4

Salut ,si j'ai compris 19 en 4 lignes c'est impossible ,c'est en 5 lignes .

[azizovsky]

Salut ,si j'ai compris 19 en 4 lignes c'est impossible ,c'est en 5 lignes .

j'ai compris ,le nombre de ligne c'est imposé ...

[Médiat]

Bonsoir,

Oui le nombre de ligne est imposé, et pour 19 en 4 lignes, la solution est (3, 4, 5, 7).

La solution générale est de la forme :

"une suite arithmétique de raison (-1) (en partant de la ligne comportant objets)"
+
"1 objet sur les premières lignes ( toujours en partant de la ligne )"

Le nombre d'objets sur la dernière ligne étant si et si .

Si le nombre d'objets est , on a donc : , ce qui peut s'écrire : , où , autrement dit, , mais il faut ajouter 1 si , le plus simple est donc de prendre

J'ai utilisé les fonctions floor et ceil qui sont implémentées dans la plupart des langages de programmation, puisque le but est de mettre cela dans un programme.

[azizovsky]

Salut , merci Médiat ,ta formule va me sérvir un jour dans mon job (en décoration).