Bonjour. J'aurais voulu savoir si quelqu'un pouvait m'expliquer l'équivalence suivante s'il-vous-plaît: M est inversible ssi lorsque l'on lui applique l'algorithme du pivot de gauss, tous les coefficients diagonaux sont non nuls.
Merci d'avance.
Bonjour,
Cela vient du fait que les opérations utilisées lors du pivot de Gauss de modifient pas le déterminant (voir par exemple ici), que le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux et qu'une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci beaucoup pour cette réponse. Par contre, y aurait-il un moyen de démontrer cette équivalence sans avoir recours au déterminant svp?
Bonjour,
Une opération élémentaire est une multiplication par une matrice inversible, donc une opération élémentaire fournit une matrice de même nature que la matrice de départ.
Il suffit donc de savoir reconnaître si la matrice finale de l'algorithme est inversible ou non.
On aura bien sûr corrigé : les opérations utilisées lors du pivot de Gauss ne modifient pas le déterminant à un coefficient multiplicatif non nul près.Envoyé par Seirios
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonsoir,
Me revoilà quelques années après avec la même question... je ne vois toujours pourquoi une matrice à laquelle on a appliqué la méthode du pivot de Gauss et qui se trouve avoir un pivot nul est non inversible, pourriez-vous m’aider afin que je puisse enfin comprendre s’il-vous-plait? Merci beaucoup d’avance, bonne soirée à tous
Bonjour.
Si tu as procédé correctement, en cherchant bien a avoir des pivots non nuls tant que c'est possible, tu termine avec une matrice dont la dernière ligne (ou colonne, mais c'est simplement un changement de méthode) est nulle. Donc tu vois qu'elle n'est pas inversible, puisque multipliée par une autre elle redonne une matrice à dernière ligne nulle.
Attention, une matrice inversible peut tout à fait avoir des 0 sur la diagonale.
Cordialement.
Bonjour,
Merci beaucoup pour cette réponse; je vais essayer de procéder correctement alors, pour parvenir à obtenir cette fameuse ligne (ou colonne) nulle
Bonne soirée!
A priori, dans la méthode de Gauss, on choisit justement des pivots non nuls, quitte à échanger des lignes ou des colonnes. Si la matrice n'est pas inversible, il arrive un moment où, dans les lignes qui restent, il n'y a plus de coefficient non nul pour servir de pivot (car si on peut aller jusqu'au bout, la matrice est équivalente à une matrice triangulaire dont tous les termes de la diagonale sont non nuls, donc est inversible (voir le système linéaire associé).
Cordialement.
