Centre de masse d'un rectangle homogène

[Loosgin]

Mesdames, Messieurs,


Soit un rectangle simple constitué d'un continuum de points disposant tous d'une même masse.
Centre de gravité.jpg
Je recherche une méthode pour déterminer, à l'aide du calcul, les coordonnées du centre de masse de ce solide simple.

J'ai trouvé une formule sur le net, d'ailleurs que l'on peut démontrer facilement à l'aide de la relation de Chasles.
formule.PNG
Q étant un point quelconque, G le point de gravité que l'on cherche et P, un point courant du solide

Vraisemblablement, je l'applique mal car quand je l'effectue sur l'axe x, cela me donne QP = 1 /280 intégrale de y intégrale de x (x y dx dy)<=> QP = 1 / 280 intégrale de y (y dy) x²/2. En calculant, j'ai comme résultat 0.35 au lieu de 7 ...

Comment appliquer cette formule ?

En vous remerciant par avance pour vos éventuelles réponses.
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[gg0]

Effectivement,

tu appliques mal la méthode, puisque tu remplaces un vecteur par le produit de ses coordonnées ! Sans compter que le calcul que tu donnes est un peu n'importe quoi (il te reste des x après avoir intégré sur x !!!) et ne donne pas 0,35 (**).

Déjà, trouver le centre de gravité d'un rectangle est évident, à cause des axes de symétrie. mais si tu tiens à faire le calcul, tu projettes sur chacun des axes (*) ta formule pour trouver l'abscisse et l'ordonnée de G, tu remarques alors que dm = 20 x ou dm = 7 dy, et tu as à chaque fois une intégrale simple à calculer (correctement)

Cordialement.

(*) on place l'origine en un coin du rectangle, les axes suivant les côtés.
(**) avec les bornes 0..7 pour x et 0..20 pour y

[invite51d17075]

ben c'est le fameux point g ( très connu )
bon !

[invite51d17075]

plus sérieusement, prenons ton rectangle ABCD
ton intégrale devient

qui deviennent deux intégrales, l'une en x , l'autre en y.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Loosgin]

Oops, effectivement, j'avais écrit une sacrée bêtise !
En corrigeant, cela nous donne (en plaçant le repère au coin inférieur gauche du rectangle) :



avec dm = dx *dy.



Grâce à la linéarité de l'intégrale, nous pouvons écrire :

** Dites-le moi si j'écris n'importe quoi **







Et on retombe bien sur 7 et 10 ... Merci encore une fois !

En revanche, est-ce normal qu'on perde les coordonnées de G à l'aboutissement de cette intégrale ? J'ai oublié de spécifier un élément au départ ou au-cours du calcul ?

[gg0]

C'est toujours n'importe quoi ! Ton calcul donne un seul nombre, 17 (10+7=17).

"est-ce normal qu'on perde les coordonnées de G à l'aboutissement de cette intégrale ?" Heu ... c'est toi qui les as perdues dès le début. x+y n'est ni l'abscisse, ni l'ordonnée de G.

Va donc voir un calcul sérieux au lieu de trafiquer une formule que tu ne comprends pas. Il y a plein de références sur Internet, par exemple Wikipédia.

[invite51d17075]

bjr,
je redis ici ce que j'ai malencontreusement posté ailleurs par distraction.

Si cela peut t'aider : soit G(x;y).
Si t est l'abscisse de P ; la coord en abscisse de vaut -t quand t<=x et 14-t quand t>=x

les masses étant également réparties , il est inutile d'en tenir compte dans le calcul
donc

se traduit par le fait que les intégrales ( sur les x et les y sont nulles )

sur les x par exemple cela se traduit par

sous la parenthèse on obtient :




l'intégrale en y ( de 0 à 20 ) ne fait ici que multiplier cette valeur par 20.
donc la nullité impose ici que x=7

[invite51d17075]

le "QUOTE" est à oublier, c'est mal dit et donc faux.
les intégrales restent justes.

[invite51d17075]

désolé du triple post ( très fatigué/malade en ce moment ) , et qui complique inutilement les choses
bêtement :
la valeur en abscisse de GP vaut t-x donc pour l'intégrale en x seul.



l'intégrale sur l'ensemble du rectangle ( tj pour les abscisses ) multiplie cette valeur par 20

[Loosgin]

Merci pour vos retours et désolé pour ce renvoi tardif (pas mal de partiels en préparation).

Pour gg0 :

J'appliquerai ces formules la prochaine fois :
centre de masse.PNG

Sinon, je peux décomposer cette formule comme suit ? Soit l'espace E muni d'un repère orthonormé direct


<=>

Pour anset :

Pour être sûr que je t'ai bien compris, peux-tu me dire si le schéma suivant illustre bien tes propos ?
Centre de gravité.jpg

[invite51d17075]

oui, mais ne tiens pas compte de mon post#7 qui est un peu "en vrac",
le #9 est plus clair et simple.