Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes

[invite452d5a24]

Salut,

J'ai découvert cela et voulais le partager avec vous :

Soit .

Montrons qu'il existe une sous suite convergente.


cas 1 :

On pose alors est une sous suite décroissante minorée par b, donc elle converge.



cas 2 : n'est pas atteint,

alors il existe une sous suite qui converge vers ce sup.

Fin.

Cordialement.
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[invite6710ed20]

Bonjour
La démonstration n'est pas claire (est-ce un défaut de rédaction?)
premier cas on pose Qu'est ce que

[invite452d5a24]

Bonjour,



Bonne journée.

[invite9dc7b526]

Et qu'est-ce que s(0) ? sachant que le maximum des xk, k>n n'a pas de raison d'être unique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite452d5a24]

Et qu'est-ce que s(0) ? sachant que le maximum des xk, k>n n'a pas de raison d'être unique.

Oui, j'ai ici travaillé avec l'axiome du choix, mais on peut prendre

[invite452d5a24]

Salut,

Bolzano-Wierstrass dans (en 4 lignes) :

Soit une suite de vecteur bornée par M pour la norme sup.

D'aprés B-W dans les réels, on peut extraire une sous-suite de bornée.
D'aprés B-W dans les réels, on peut extraire une sous-suite de bornée.
...
D'aprés B-W dans les réels, on peut extraire une sous-suite de bornée.

à noter que converge car chacune de ses composantes converges.
Fin.


Cordialement.

[invite452d5a24]

Pour finir en beauté :

Equivalence des normes à la norme sup, en dimension finie (en 4 lignes) dans


1/


2/Supposons , donc tend vers 0 pour la norme
D'aprés le théorème de B-W, il existe une suite extraite convergente pour la norme sup, vers donc et : absurde.

Fin.