Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes
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Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes



  1. #1
    invite36041331

    Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes


    ------

    Salut,

    J'ai découvert cela et voulais le partager avec vous :

    Soit .

    Montrons qu'il existe une sous suite convergente.


    cas 1 :

    On pose alors est une sous suite décroissante minorée par b, donc elle converge.



    cas 2 : n'est pas atteint,

    alors il existe une sous suite qui converge vers ce sup.

    Fin.

    Cordialement.

    -----

  2. #2
    JB2017

    Re : Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes

    Bonjour
    La démonstration n'est pas claire (est-ce un défaut de rédaction?)
    premier cas on pose Qu'est ce que

  3. #3
    invite36041331

    Re : Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes

    Bonjour,



    Bonne journée.

  4. #4
    minushabens

    Re : Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes

    Et qu'est-ce que s(0) ? sachant que le maximum des xk, k>n n'a pas de raison d'être unique.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite36041331

    Re : Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Et qu'est-ce que s(0) ? sachant que le maximum des xk, k>n n'a pas de raison d'être unique.
    Oui, j'ai ici travaillé avec l'axiome du choix, mais on peut prendre

  7. #6
    invite36041331

    Re : Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes

    Salut,

    Bolzano-Wierstrass dans (en 4 lignes) :

    Soit une suite de vecteur bornée par M pour la norme sup.

    D'aprés B-W dans les réels, on peut extraire une sous-suite de bornée.
    D'aprés B-W dans les réels, on peut extraire une sous-suite de bornée.
    ...
    D'aprés B-W dans les réels, on peut extraire une sous-suite de bornée.

    à noter que converge car chacune de ses composantes converges.
    Fin.


    Cordialement.

  8. #7
    invite36041331

    Re : Résultat de Bolzano-Weierstrass en 4 lignes

    Pour finir en beauté :

    Equivalence des normes à la norme sup, en dimension finie (en 4 lignes) dans


    1/


    2/Supposons , donc tend vers 0 pour la norme
    D'aprés le théorème de B-W, il existe une suite extraite convergente pour la norme sup, vers donc et : absurde.

    Fin.

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