Bolzano-Weierstrass

[invite52487760]

Salut à tous,

Suite à la demande de Monsieur @ansset de créer un topic pour lui faire part de mes idées portant sur le lien qui existe entre le théorème de Bolzano- Weierstrass et le langage des faisceaux suivant ma vision personnelle, je me permets de me lancer dans cette présentation qui n'est pas difficile à voir. Alors, je commence :
Le théorème de Bolzano - Weierstrass affirme que si est est un espace topologique, et est une partie compact de .
Alors pour toute suite de , il existe une sous suite convergente dans .
En langage des faisceaux, voici ce que ça donne suivant ma vision personnelle qui peut être incertaine, mais à vous de proposer une amélioration de cette idée si elle s'avère ne pas être juste :
On considère un espace qu'on muni d'une topologie d'ouverts qui permet de mettre en place les notions suivantes :
On considère sur le pré-faisceau définie par : . Alors n'a pas une structure de faisceau par analogie au le théorème de Bolzano - Weierstrass. Autrement dit, en langage des faisceaux, toute suite dans admet une sous suite convergente signifie en langage des faisceaux, qu'ils existent des sections locales de qui ne se recollent pas pour donner une section globale, c'est à dire, que ce préfaisceau, n'est pas un faisceau.
Voilà.
Qu'est ce que vous pensez ?

Cordialement.
-----

[Seirios]

Le théorème de Bolzano - Weierstrass affirme que si est est un espace topologique, et est une partie compact de .
Alors pour toute suite de , il existe une sous suite convergente dans .

Ce n'est pas vrai pour des espaces topologiques quelconques. Il existe des espaces séquentiellement compacts qui ne sont pas compacts. Par contre, c'est correct pour des espaces métrisables, ou plus généralement à base dénombrable.

[God's Breath]

Ce n'est pas vrai pour des espaces topologiques quelconques.

Je ne vois rien de faux dans le texte cité qui serait faux dans des espaces topologiques, quelconques ou non.

[minushabens]

C'est BW => HBL qui est vrai dans les espaces métriques (ou métrisables).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Salut à tous,

@gb :
Aurais tu l'amabilité de nous expliquer pourquoi c'est faux quelque soit l'espace en question ?

Merci d'avance.

Edit : Je redoute que soit de même nature de les espaces qui ne sont pas des faisceaux ( Je n'ai pas encore compris pourquoi ) contrairement par exemple aux espaces

[ansset]

bjr,
en premier lieu , ce n'est pas MA proposition , mais la tienne.
ensuite, un point de détail , tu écris :
"Alors pour toute suite de A" ( c'est plutôt dans A compact )...

pour le reste, je ne vois pas en quoi l'analogie avec BW apporte quel que chose ( car c'est hors contexte ).
donc je n'ai pas compris ta démo car tu pars de suites déjà convergentes.
ps : pas spécialiste des faisceaux ( ça remonte à loin pour moi ).
Cdt

[invite52487760]

D'accord, merci ansset.
Une question adressée à tout le monde :
Pourriez vous m'expliquer pourquoi le préfaisceau : n'est pas un faisceau ?
Merci d'avance.

[God's Breath]

Parce que l'intégrabilité n'est pas une propriété locale.