Théorème de Bolzano Weierstrass

[invitedb34050e]

Bonsoir,
svp lors de la démonstration du théorème de Bolzano Weierstrass, on a posé une suite (xn) bornée et on s'est proposé de construire par récurrence une suite de segments [an,bn] qui vérifie 3 conditions dont l'une est que [an,bn] contient une infinité de termes de la suite (xn). Je ne vois pas pourquoi et comment on a posé cette condition?
Merci ^_^
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[inviteea028771]

Il faut avoir une infinité de termes pour pouvoir continuer la récurrence.

L'idée, c'est que si tu as une infinité de termes de ta suite xn dans [a,b], et que tu prends c=(a+b)/2, soit tu as une infinité de termes dans [a,c], soit une infinité de termes dans [c,b] (tu peux avoir une infinité de termes dans les deux, mais dans ce cas, il suffit d'en choisir un). Si tu avais un nombre fini de termes dans les deux intervalles, ta suite xn aurait un nombre fini de termes (ce qui est contradictoire)


Si jamais on choisissait un segment avec un nombre fini de termes de la suite, on ne pourrait pas extraire une suite à valeurs dans ces segments, car il n'y aurai qu'un nombre fini de termes (or une suite a un nombre infini de termes)

[invitedb34050e]

Merci beaucoup c'est très clair