Bonjour, je suis confronté à un exercice qui porte sur les fonctions holomorphes à plusieurs variables.

Voila l'énoncé:
On considère une fonction holomorphe en
D'abord on demande de montrer qu'il existe un unique développement de f de sorte que: où les sont des polynômes homogèenes d'ordre k.

Pas de problème pour cette question, j'ai juste fait un developpement de Taylor de $f$ et regrouper les termes qui allaient bien grace aux théorèmes de sommation classiques.

Voici la deuxieme question:
Si l'on appelle k le plus petit indice tel que , alors montrer que des changements de coordonnées lineaires f est régulière d'ordre k.
(c'est-à-dire que admet un zero d'ordre k. avec g la matrice qui designe les chagnements de coordonnées.

Pour cette deuxième question, je ne vois pas trop comment partir. A priori il faut deja avoir une idée toute faite sur l'emplacement du zero, ainsi que des changements de variables à opérer. Je ne vois pas comment trouver cela en me servant de l'hypothèse que le polynôme homogène de degré k n'est pas nul.

Pouvez-vous me donner une indication?

Merci,

Côme