Mystère entre somme et produit

[inviteda3529a9]

Bonjour a tous.
J'ai un problème sur deux petite question en maths et je souhaiterai solliciter votre aide:

On pose

(P(n)) la suite des nombres premiers. A>1

A= sum(1/k^a,k=1..P(N))
B= produit((1-1/P(k)^a,k=1..N)
C= sum(1/k^a,k=1..+infinity)

Comment montrer que :

A < 1/B < C ?

Je sait que 1/k^a < 1/P(k)^a et produit(i^m) < produit(i)^m mais cela ne me permet pas d'aboutir. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?

Comment montrer également

sum(1/k,k=1..P(N)) < 1/(produit((1-1/P(k),k=1..N)) ?

Merci d'avance à tous.
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[inviteaf1870ed]

Regarde ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_eul%C3%A9rien

[breukin]

Une bonne façon de voir ce qui se passe est de multiplier de proche en proche (2, 3, 5, etc.) :

par :

pour constater qu'on élimine au fur et à mesure les multiples de 2, 3, 5, etc. dans la somme infinie.

On peut donc démontrer par récurence, en notant :

que :


(La somme est restreinte aux entiers qui ne sont divisibles par aucun des : à l'infini, il ne reste plus que 1.)
Ce qui démontre la seconde inégalité.

[inviteda3529a9]

Merci mais pourriez vous mieux détaillez comment vous abstenez la somme pour le produite de C par B ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Je vous l'ai dit, faites le produit de proche en proche.
Développez termes à termes :

Quels termes disparaissent ?
Puis développez le produit du résultat par pour voir les termes qui disparaissent
Et ainsi de suite.
La formule indiquée n'est que le constat (et la formalisation) des termes qui restent (ou de ceux qui disparaissent) au bout de N étapes.

Il n'y a pas plus de détails à donner.