Somme et produit

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Le docteur Volampson reçoit pour les vacances de la Toussaint ses deux neveux Pierre et Serge, deux petits génies précoces férus de mathématiques. Un soir pour jouer le docteur proposa un jeu après avoir écrit quelquechose sur deux morceaux de papier :

- Les jeunes, je viens de penser à deux entiers a et b tels que 2<a<b. Pierre prend ce papier mais ne le montre pas à Serge, tu y découvriras le produit des deux nombres. Serge prend celui-ci pour y trouver leur somme mais cache le bien. Bon, pouvez-vous me dire quels sont les nombres auxquels j'ai pensé ?
- Je ne sais pas, dit Serge
- Je ne sais pas non plus, répondit Pierre
- Ah ! Dans ce cas je connais les deux nombres, rétorqua Serge
- Du coup moi aussi, triompha Pierre

Mais quels sont ces deux nombres ?
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J'ai l'impression qu'il existe plusieurs solutions...
Par exemple en prenant les nombres 3 et 4,

- Serge reçoit le papier avec la somme des nombres donc 7. Il ne sait pas si le nombres sont 2 et 5 ou 3 et 4 et répond donc qu'il ne sait pas.
- Pierre reçoit le papier avec le produit des nombres donc 12. Il ne sait pas si les nombres sont 2 et 6 ou 3 et 4 et répond donc qu'il ne sait pas.
- Serge comprend que si les nombres avaient été 2 et 5, Pierre aurait eu pour produit 10 et aurait donc directement déduit les deux nombres. Les nombres sont donc 3 et 4.
- Pour Pierre, si les nombres avaient été 2 et 6, la somme aurait été 8 (2+6, 3+5 ou 4+4), ce qui n'aurait pas permis à Serge d'obtenir la réponse.

Voilà, mais j'ai l'impression que ce raisonnement peut fonctionner avec d'autres nombres, non ?

[invite4492c379]

Hello,

Bravo, a=3 et b=4 est la solution

Elle est unique car si on note s la somme lue par Serge, on peut déduire qu'après la seconde intervention de Serge que s<8.

Je vais laisser un peu de temps et je posterai la solution d'ici quelques jours.

La seconde énigme est un peu plus compliquée ....