Somme et produit II

[invite4492c379]

Le docteur Volampson reçoit pour les vacances de la Toussaint ses deux neveux Pierre et Serge, deux petits génies précoces férus de mathématiques. Un soir pour jouer le docteur proposa un jeu après avoir écrit quelquechose sur deux morceaux de papier :

- Les jeunes, je viens de penser à deux entiers a et b tels que 2<a<b. Pierre prend ce papier mais ne le montre pas à Serge, tu y découvriras le produit des deux nombres. Serge prend celui-ci pour y trouver leur somme mais cache le bien. Bon, pouvez-vous me dire quels sont les nombres auxquels j'ai pensé ?
- Je ne sais pas, dit Serge
- Je ne sais pas non plus, répondit Pierre
- Ah ! Dans ce cas je connais les deux nombres, rétorqua Serge
- Du coup moi aussi, triompha Pierre

Mais quels sont ces deux nombres ?

PS : Ce fil n'est pas un doublon avec Somme et produit ... cette version est plus compliquée à résoudre ...
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[invitea0ecda6e]

Bonjour,

Je ne vois pas en quoi c'est différent de l'autre énigme

Si on a 3 et 4

- Serge reçoit la somme: 7 et en déduit que soit les nombres sont 2 et 5 soit 3 et 4. Si c'est 2 et 5 le produit vaudra 10 et Pierre connaitra la réponse. Sinon le produit vaudra 12 et Pierre ne connaitra pas la réponse
- Pierre voit le produit: 12 et en déduit que les nombres sont 2 et 6 ou 3 et 4. Dans les 2 cas, Serge n'a pas pu connaitre les nombres puisque la somme (8 ou 7) ne permet pas d'en déduire les nombres
- etc...

[invite4492c379]

Supposons que a=4 et b=6, on a donc s=10 et p=24

Serge lit 10 et construit la liste des candidats L1={(2,8),(3,7),(4,6)} : il ne peut conclure

Pierre lit 24 et construit la liste L2={(2,12)(3,8)(4,6)}
(2,12) donne pour somme 14 ... impossible de conclure
(3,8) donne pour somme 11 ... impossible de conclure
(4,6) donne pour somme 10 ... impossible de conclure

Serge se rend alors compte que :
(2,8) donne pour produit 16, or si p=16 il n'y a qu'une solution de produit : (2,8) comme Pierre n'a pas conclut il écarte ce couple
(3,7) donne pour produit 21, or ... même conclusion que précédemment, il écarte ce couple
(4,6) donne 24 avec l'impossibilité pour Pierre de conclure précédemment.
Il connaît donc le couple (4,6)

Pierre se dit alors
si (2,12) est la solution alors Serge aurait eu le choix entre {(2,12),(3,11),(4,10),(5,9),(6 ,8)}
il aurait pu éliminer (3,11) (33 factorisation unique), mais n'aurait pu discriminer entre (2,12),(4,10),(5,9) et (6,8), il n'aurait pu répondre => on écarte ce couple
si (3,8) est la solution alors Serge aurait eu le choix entre {(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)}
il n'aurait pu éliminer aucune des solutions => on écarte ce couple
si (4,6) est la solution il aurait eu le choix entre {(2,8),(3,7),(4,6)}
il aurait pu éliminer (2,8) et (3,7) et trouver (4,6) , ce qu'il a fait
Donc (4,6) est la solution cherchée et il peut fièrement l'affirmer.

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Le but de l'énigme n'est pas que de trouver une solution, mais aussi de montrer qu'elle est unique ou non, s'il y en a plusieurs, etc ....