Approximation de Weierstrass/séries de Fourier.

[invitea250c65c]

Bonjour à tous.

J'ai une petite question à propos à propos de cet énoncé :

Soit f une fonction T périodique à valeurs complexes continue sur un segment [a,b] telle que pour tout entier n . Alors f=0 sur [a,b].

J'ai démontré ceci à l'aide du théorème d'approximation uniforme de Weierstrass par des polynômes trigonométriques.
Je me demandais cependant si on pouvait utiliser des arguments relatifs aux séries de Fourier (dans les limites du programme de maths spé) pour démontrer ceci.
Problème : ni le théorème de Dirichlet, ni celui de convergence normale, ne s'applique à priori, rien n'assurant donc la convergence de la série de Fourier.
Qu'en pensez-vous?

Je sais que ça revient à peu près à la même chose étant donné que les théorèmes relatifs aux séries de Fourier découlent en partie de Weierstrass, c'est juste pour gagner un peu de temps lors d'une rédaction et c'est l'occasion de revoir mes séries de Fourier.

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Je ne vois pas en quoi le fait que f soit T-périodique intervient dans cet énoncé.

Personnellement, j'introduirais la fonction F, (b-a)-périodique, qui coïncide avec f sur [a;b[, et j'utiliserais la formule de Parseval pour F.

[invitea250c65c]

Merci.

Ah mince en effet j'ai tapé trop vite. L'énoncé est :

Soit f une fonction T périodique à valeurs complexes continue sur [0,T] telle que pour tout entier n . Alors f=0 sur [0,T].

Schématiquement : f continue T périodique dont tous les coefficients de Fourier sont nuls => f nulle.

Ah oui je n'avais pas pensé à utiliser Parseval ou la convergence en moyenne quadratique, merci beaucoup, en effet c'est plus rapide que d'utiliser le second théorème de Weierstrass (même si, en fait, ca vient de là).