Espace vectoriel et nombres algébrique

[invitefa2121b1]

Bonjour,

J'essaye de faire un petit exercice sur les E.V mais je bloque sur la seconde question.

Après avoir défini un réel algébrique comme racine d'un polynôme non nul de Z[X], et demandé de prouvé que , , et sont algébrique (en trouvant un polynôme), on me propose de démontrer l'énoncé suivant :

Soit x de R. Montrer que x algébrique <=> Le sous e.v. Vx de R engendré par la famille des est finis.

J'avais dans l'idée, pour montrer le sens <=, de partir sur l'hypothèse d'avoir une base finis, et, par rec sur le degré de l'ev, parvenir a construire un polynôme dont chaque élément de la base est racine, puis montrer qu'aillant ces polynomes a disposition, on pouvais former les poly de toute combi linéaire d'element de cette base.

Mais j'avoue que je ne vois pas comment faire.
Déjà, je suis incapable de prouver qu'il existe une base de Vx tel que, chaque élément , à une certaine puissance i, est un entier.
(Par exemple, pour l'EV engendré par ce serait qui correspondrait a la base que je cherche)

Qu'en dites vous, je me complique la vie? J'aimerais qu'on ne me donne pas la solution toute faite si il y a une chance que je puisse trouver par moi même, mais je ne refuserais pas quelques conseilles.
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[invitec7c23c92]

Bonjour,

Oui, tu dois te compliquer la vie...

Si on part de l'hypothèse "Le sev Vx engendré par la famille des est de dimension finie", la famille des est-elle libre ou liée ?

[Médiat]

Soit x de R. Montrer que x algébrique <=> Le sous e.v. Vx de R engendré par la famille des est finis.

J'avais dans l'idée, pour montrer le sens <=, de partir sur l'hypothèse d'avoir une base finis, et, par rec sur le degré de l'ev, parvenir a construire un polynôme dont chaque élément de la base est racine, puis montrer qu'aillant ces polynomes a disposition, on pouvais former les poly de toute combi linéaire d'element de cette base.

Je suppose que V_x est ici vu comme un ev sur Q, et qu'il faut lire
Si cet ev est de dimension fini, disons n, cela veut dire que la famille est forcément liée ; il suffit de l'écrire pour avoir un polynome qui va bien ...

[invitefa2121b1]

Je suppose que V_x est ici vu comme un ev sur Q, et qu'il faut lire
Si cet ev est de dimension fini, disons n, cela veut dire que la famille est forcément liée ; il suffit de l'écrire pour avoir un polynome qui va bien ...

Ah oui, présenté de cette façon je me sent vraiment bête
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]