Bonjour,
J'essaye de faire un petit exercice sur les E.V mais je bloque sur la seconde question.
Après avoir défini un réel algébrique comme racine d'un polynôme non nul de Z[X], et demandé de prouvé que,
,
et
sont algébrique (en trouvant un polynôme), on me propose de démontrer l'énoncé suivant :
Soit x de R. Montrer que x algébrique <=> Le sous e.v. Vx de R engendré par la famille desest finis.
J'avais dans l'idée, pour montrer le sens <=, de partir sur l'hypothèse d'avoir une base finis, et, par rec sur le degré de l'ev, parvenir a construire un polynôme dont chaque élément de la base est racine, puis montrer qu'aillant ces polynomes a disposition, on pouvais former les poly de toute combi linéaire d'element de cette base.
Mais j'avoue que je ne vois pas comment faire.
Déjà, je suis incapable de prouver qu'il existe une basede Vx tel que, chaque élément
, à une certaine puissance i, est un entier.
(Par exemple, pour l'EV engendré parce serait
qui correspondrait a la base que je cherche)
Qu'en dites vous, je me complique la vie? J'aimerais qu'on ne me donne pas la solution toute faite si il y a une chance que je puisse trouver par moi même, mais je ne refuserais pas quelques conseilles.
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