Géométrie différentielle - Abscisse curviligne d'un astroïde

[The_Anonymous]

Bonsoir à tous, c'est toujours un plaisir de revenir ici!

Je bloque sur la dernière partie de mon exercice qui consiste, pour l'astroïde de courbe (périodique et ) dans : , à trouver l'abscisse curviligne et donner le paramétrage naturel au point initial .

Par la définition de mon livre, je calcule l'abscisse curviligne comme étant

Voilà toutes les expressions que j'ai pu trouvé pour l'intégrale de l'abscisse curviligne. Malheureusement je n'arrive en aucun cas à trouver une fonction convaincante pour elle-même. Comme on sait que , j'ai trouvé que si on exprimait , où et , alors on trouvait . Ceci dit, j'ai besoin d'une expression en fonction de , afin de pouvoir trouver l'inverse de cette fonction pour pouvoir trouver le paramétrage naturel. En effet, on me suggère de trouver comme une fonction afin de trouver le paramétrage naturel .

Ma question est donc : est-il possible de trouver une fonction convenable pour l'abscisse curviligne, en calculant l'intégrale? Si oui, comment y arrive-t-on? Si non, est-il satisfaisant de donner l'abscisse curviligne sous forme d'intégrale? Si non, comment trouve-t-on le paramétrage naturel?

Merci beaucoup pour votre aide!
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[The_Anonymous]

Re-bonjour,

Visiblement un sujet pas si intéressant Peut-être que je ferais mieux de poser la question dans la section physique?

Quoi qu'il en soit, j'ai creusé un peu, avec un succès mitigé. J'ai fouillé de fond en comble internet à la recherche de sources, mais ce n'est apparemment pas une notion à part entière dans la documentation anglophone, et il n'y a que très peu de sites sérieux proposant une solution performante. La seule source que j'ai trouvée se trouve ici, mais comme expliqué à la page 28, il n'est pas possible d'obtenir un changement de paramètres, même en découpant la fonction en 4 parties correspondant aux 4 quarts du cercle trigonométrique. Ceci dit, ce raisonnement relève de l'astroïde définit par le paramétrage de courbe

,

qui donne la vitesse

.

Or, en utilisant l'équation cartésienne , alors j'ai trouvé le paramétrage .
Avec ceci, je calcule

.

J'obtiens alors

.

Si on prend alors , on trouve , et ceci nous amène donc au reparamétrage suivant

.

Or, la vitesse de ce paramétrage est bien égal à 1, et le graphique paramétrique de cette courbe représente bien l'astroïde de base.

Il me reste cependant deux questions :

• Est-il correct de définir une courbe ainsi, avec un signe plus ou moins? Le raisonnement ci-dessus est-il approprié?
• Y a-t-il une autre façon de trouver un paramétrage naturel de la courbe, en partant de la définition utilisant les fonction trigonométriques?

Merci d'avance pour les réponses