Développement limité en 0 de e^x - cos(x)

[invite58961cb3]

Bonjour,

voilà je n'arrive pas à développer en série la fonction e^x - cos(x). En fait selon l'ordre de développement dans lequel je m'arrête, j'ai des résultats différents.. (selon le corrigé, c'est x)

Que faire ? Merci !
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[gg0]

Si ton corrigé dit que le développement en série entière de e^x - cos(x) = x, il est évidemment faux.
Il serait bon que tu donnes tes calculs, assez simples par ailleurs. Il n'y a pas de difficulté particulière si on ne cherche pas une forme unique pour le terme général.

Cordialement.

NB : C'est développement limité (à quel ordre) ? ou développement en série ?

[invite58961cb3]

Tout compte fait, j'ai résolu mon problème. En fait je n'ai pas été assez clair, le but de l'exercice était d'arriver à quelque chose du type A/x^n . J'ai juste effectué des développements qui n'arrivaient pas à quelque chose du type A/x^n, mais qui n'étaient pas pour autant faux (mis à part lorsque j'ai approximé (x²+x) à x² pour x -> 0 ce qui est faux en calculant la limite du rapport.

Voilà merci !

[gg0]

Je ne comprends rien à ce que tu racontes. Ni dans les DL, ni dans le DSE de e^x - cos(x) n'apparaissent des termes A/x^n.

Il ne sert à rien de poser des questions incompréhensibles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

ben tu connais le DSE de l'exp ainsi que celle du cos !
donc y'a plus qu'à compiler tout ça.
et il n'y a pas de x^n au dénominateurs ( tu confonds avec des n!)

[invite51d17075]

si le "corrigé" dit que la réponse est x, alors il s'agit du DL à l'ordre 1 ; pas du développement en séries.

[gg0]

Malheureusement, MidoXan n'est pas capable de copier proprement les termes de son exercice !

[invite51d17075]

Si cela peut t'aider : soit g(x;y)
( dans l'intégrale en x qui va de 0 à 14 ) de vaut -x quand t<=x et 14-x quand t>=x
et c'est la même chose pour y.

[invite58961cb3]

Excusez moi, et merci pour vos réponses, voici le calcul :

e^x - cos(x) = (1+x+o(x))-(1+o(1)) ~ x

[invite58961cb3]

J'ai également vérifié avec une calculatrice que : (e^x - cos(x))/x ~ 1 (x -> 0) pour des x allant jusqu'à 10^-12 (je suppose qu'au delà il faut tenir compte du phénomène d'annulation)

[gg0]

Ton calcul est faux !!!
e^x - cos(x) = (1+x+o(x))-(1+o(1)) =o(1)
En utilisant des DL au même ordre (recommandé) :
e^x - cos(x) = (1+x+o(x))-(1+o(x)) =x+o(x)
Donc e^x - cos(x) ~ x

La vérification à la calculatrice de limites n'est jamais une preuve. En prenant x de plus en plus proche de 0, on trouve à la calculatrice que (1-cos(x))/x² tend vers 0, ce qui est faux (la limite est 1/2).

Tu es vraiment dans le supérieur ?

[invite51d17075]

aparté: mon post #8 était HS : réponse à un autre fil ( deux fenêtres ouvertes )

[invite58961cb3]

Merci gg0 ! Je viens de me rendre compte de mon erreur effectivement, c'est un cours que je n'ai pas étudié mais si j'ai bien compris vos calculs o(1)>>x>>o(x)>>x²>>o(x²)>>...> >x^n>>o(x^n) (x->0)
et notamment o(x)-o(x) = o(x) ; o(x^5)-o(x)= -o(x);

mon problème venait du fait que je ne savais pas m'y prendre avec les o(x^n) et je ne savais pas que c'étaient eux qui déterminaient l'ordre du développement (j'ai du confondre ordre et degré du polynôme).

[gg0]

Ok.

Alors il vaut mieux étudier un cours (*) sur les développements limités avant de faire un calcul de DL plutôt qu'après. En général, parler de ce qu'on ne connaît pas est le plus sûr moyen de donner une mauvaise impression.

Cordialement.

(*) éventuellement seul, sans prof.