Limite de fonction et développement limité

[invite8ec57de1]

Bonjour,

Je dois calculer la limite ci-dessous :
20160425_183359.jpg

Il est facile de la trouver par équivalence, en disant que ln(x+1) équivaut à ln(x) quand x → +infini.

Mais le but est de la trouver par un développement limité.
J'ai posé x = 1/X , afin de se ramener à X→0 pour pouvoir effectuer le dvpt limité
Mais je ne retombe pas sur des formes connues de dvpt limité ( ln X+1 ou ln X-1...)

Voici ce que j'ai fais (en pièce jointe), mais je suis coincée.
Quelqu'un aurait une piste ?
Merci d'avance
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[invite51d17075]

pas vu tes pièces jointes , mais passer au départ par X=1/x n'amène à rien.
par contre
ln(1+x)=ln(x(1+1/x))=ln(x)+ln(1+1/x).........
la suite est évidente.
DL autour de 1 pour le second membre si tu le souhaites ! mais je ne vois pas l'intérêt.

[invite51d17075]

je viens de voir ta fonction en entier.
commence par faire ce que je te propose sous la parenthèse.

[invite8ec57de1]

Sous la parenthèse, j'ai trouvé que ça faisait 1 + ( ln(1 + 1/x )/ln x)
Et donc que ça tendait vers 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

certes, mais il faut plus précis avec un DL à l'ordre 1 de ln(1+1/x) car toute la racine est ensuite à la puissance x.

[invite8ec57de1]

D'accord, donc il faut que je pose X = 1/x , pour avoir la forme ln (1+X) dont on connait le DL ?

[invite51d17075]

oui, ou tu l'écris directement en remplaçant X ds le DL par 1/x . ça revient au même.
il te restera (1+a/ln(x))^x avec a/ln(x) o(1) .

[invite8ec57de1]

J'ai trouvé ln (1+X) = X + o(X) = 1/x + o(x)

Donc on a la fonction qui devient : (1 + (1/x +o(x) / lnx)) ^x

Comment faire la limite avec la puissance?

[gg0]

Bonjour.

En utilisant la définition : .

Cordialement.

[invite51d17075]

J'ai trouvé ln (1+X) = X + o(X) = 1/x + o(x)

Donc on a la fonction qui devient : (1 + (1/x +o(x) / lnx)) ^x

Comment faire la limite avec la puissance?

ce n'est pas o(x) !

[invite8ec57de1]

Oui, je me suis trompée : o(1/x)