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Limite de fonction et développement limité



  1. #1
    Math_ou

    Limite de fonction et développement limité


    ------

    Bonjour,

    Je dois calculer la limite ci-dessous :
    20160425_183359.jpg

    Il est facile de la trouver par équivalence, en disant que ln(x+1) équivaut à ln(x) quand x → +infini.

    Mais le but est de la trouver par un développement limité.
    J'ai posé x = 1/X , afin de se ramener à X→0 pour pouvoir effectuer le dvpt limité
    Mais je ne retombe pas sur des formes connues de dvpt limité ( ln X+1 ou ln X-1...)

    Voici ce que j'ai fais (en pièce jointe), mais je suis coincée.
    Quelqu'un aurait une piste ?
    Merci d'avance

    -----
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  2. Publicité
  3. #2
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Limite de fonction et développement limité

    pas vu tes pièces jointes , mais passer au départ par X=1/x n'amène à rien.
    par contre
    ln(1+x)=ln(x(1+1/x))=ln(x)+ln(1+1/x).........
    la suite est évidente.
    DL autour de 1 pour le second membre si tu le souhaites ! mais je ne vois pas l'intérêt.
    Dernière modification par ansset ; 25/04/2016 à 18h05.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Limite de fonction et développement limité

    je viens de voir ta fonction en entier.
    commence par faire ce que je te propose sous la parenthèse.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    Math_ou

    Re : Limite de fonction et développement limité

    Sous la parenthèse, j'ai trouvé que ça faisait 1 + ( ln(1 + 1/x )/ln x)
    Et donc que ça tendait vers 1

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Limite de fonction et développement limité

    certes, mais il faut plus précis avec un DL à l'ordre 1 de ln(1+1/x) car toute la racine est ensuite à la puissance x.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #6
    Math_ou

    Re : Limite de fonction et développement limité

    D'accord, donc il faut que je pose X = 1/x , pour avoir la forme ln (1+X) dont on connait le DL ?

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  10. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Limite de fonction et développement limité

    oui, ou tu l'écris directement en remplaçant X ds le DL par 1/x . ça revient au même.
    il te restera (1+a/ln(x))^x avec a/ln(x) o(1) .
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #8
    Math_ou

    Re : Limite de fonction et développement limité

    J'ai trouvé ln (1+X) = X + o(X) = 1/x + o(x)

    Donc on a la fonction qui devient : (1 + (1/x +o(x) / lnx)) ^x

    Comment faire la limite avec la puissance?

  12. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Limite de fonction et développement limité

    Bonjour.

    En utilisant la définition : .

    Cordialement.

  13. #10
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Limite de fonction et développement limité

    Citation Envoyé par Math_ou Voir le message
    J'ai trouvé ln (1+X) = X + o(X) = 1/x + o(x)

    Donc on a la fonction qui devient : (1 + (1/x +o(x) / lnx)) ^x

    Comment faire la limite avec la puissance?
    ce n'est pas o(x) !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    Math_ou

    Re : Limite de fonction et développement limité

    Oui, je me suis trompée : o(1/x)

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