Théorème de Bolzano Weierstrass

[invitec12bce47]

Bonjour à tous,

Dans la démonstration de mon cours du théorème de Bolzano-Weierstrass (toute suite réelle bornée x(n) admet une sous suite convergente) , on construit une sous-suite de la suite (x(n)) qui converge vers limsup x(n) = lim y(n) avec y(n) = sup (x(k) : k>=n) une suite décroissante.
Si on suppose que (x(n)) n'est pas convergente, est-il correct de dire que les termes de la suite y(n) sont forcément des termes de la suite x(n) ? En gros, est-ce qu'on a y(n) = max (x(k) : k>=n) ? Dans ce cas, est-ce qu'on peut construire la sous-suite convergente recherchée en posant que ses termes sont les termes distincts de y(n) ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invite23cdddab]

edit : j'ai mal lu

La réponse à ta question est non. Considère x(n) = 1-1/n, alors le sup est 1 qui n'est pas un élément de x(n)

[invitec12bce47]

Bonjour Tryss2,
J'avais pensé à ce cas, c'est pour cela que j'ai supposé x(n) non convergente !

[invite23cdddab]

Dans ce cas considère :
x(2n) = 1-1/(n+1)
x(2n+1) = 1/(n+1)

La suite n'est pas convergente, mais y(n) = 1 pour tout n, alors que x(n) différent de 1 (j'ai pris une suite qui commence à n=1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec12bce47]

Effectivement je n'avais pas pensé à ça ! Merci beaucoup et bonne fin de journée.