Dérivée d'une fonction de la variable complexe

[invitee3131840]

Bonjour à tous,

Je suis à la recherche d'une démonstration... On nous a donné une formule brute de décoffrage qu'on nous a demandé de considéré comme une définition mais je veux trouver d'où ça vient!

Il s'agit d'obtenir la dérivée d'une fonction de la variable complexe en terme de dérivées partielles par rapport à et par rapport à :



Si vous avez une piste, un indice, ou un quelconque document je suis preneur parce que je tourne en rond!

D'avance, merci!
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[invitea0db811c]

Bonjour,

Comme un barbare :

Mais aussi :

Et donc en sommant les deux égalité on retrouve le résultat.

C'est pas très beau, mais ça marche.

[albanxiii]

Bonjour,

On peut regarder aussi : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...Cauchy-Riemann
C'est essentiellement la même chose, en plus détaillé

@+

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

Encore la même chose Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel.

Amicalement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee3131840]

Merci à tout les deux, ça correspond à peu prês à ce que je cherchais. Le problème c'est que pour ces démonstrations on est obligé de supposer que f est holomorphe alors que la formule n'a besoin que ne soit "que" différentiable ce qui en fait une formule plus générale.

Moi je me focalisait à essayer de trouver une relation générale permettant de décomposer la dérivée de n'importe quelle fonction de variable (qui est elle même fonction de deux variables et ) en terme de dérivée partielle de par rapport à et un truc du genre donc indépendamment du fait qu'il s'agisse d'analyse complexe.

[invitee3131840]

Bonsoir topmath,

Encore la même chose Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel.

Justement je ne suis pas d'accord, dans cet article ils disent "Alors, on définit: " et boum ils balancent les formules que je cherche à démontrer! Je suis d'accord que les démonstrations sont bonnes pour déterminer les dérivées partielles par rapport et et , mais comment montre t on que la dérivée partielle par rapport à en est une combinaison linéaire?

Peut être que la réponse est évidente mais moi je ne voit pas... Ou alors ça ne se démontre pas...

[invite7c2548ec]

Bonjour :

Tout simplement la fonction est composée de deux fonctions réelles de deux variables réelles, .

Cordialement

[invite57a1e779]

Bonjour,

En utilisant le classique :



on peut considérer les variables ou et on obtient :

[invite51d17075]

un truc du genre .

un truc du genre
quel sens à cette notation étrange.?
et u,alpha et béta ?

[invitee3131840]

Voilà parfait, c'est ce que je cherchais. Je sais pourquoi je bloquais, je considérais les variables et alors qu'il fallait travailler avec et . Finalement les fonctions de la variable complexe écrites en terme de et sont plutôt des fonctions de et que seulement (sinon elles seraient holomorphes). ça parait évident maintenant!

Merci à tous, et bonne soirée!

[invitee3131840]

un truc du genre
quel sens à cette notation étrange.?
et u,alpha et béta ?

Oui désolé j'ai fait une faute je voulais dire avec et des constantes complexes (différentes de 0) pour symboliser une combinaison linéaire.
Je sais que parler de n'a rien de rigoureux, c'est pourquoi j'appelle ça un "truc", c'est juste pour mettre en évidence que la variable est elle même une fonction de deux autres variables. Comme c'est le cas pour les fonctions à variables complexes puisqu'on a avec qui est une fonction de et .

Les formules pour les composer de fonctions ne marchaient pas parce que je ne considérais pas le bon jeu de variables comme je le dis au dessus.