Fonction de plusieurs variable, dérivée et gradient

[invite8f6d0dd4]

Salut à tous.

Je souhaiterai vérifier avec vous un raisonnement dont je ne suis pas sur qu'il est juste (c'est une correction écrite par un élève).

On pose :

La question est d'utiliser le gradient pour calculer la dérivée de :


Bon calculer cette dérivée sans utiliser le gradient ne me pose pas de problème mais en fait ce que je ne comprends pas c'est la correction utilisée.

En gros dans la correction on utilise le fait que :


Et on remplace par le résultat de la dérivée de f par rapport à x en considérant x et y indépendant (et y constant) : on utilise le calcul du gradient qui suppose que x et y sont bien indépendant (y n'est pas remplacé avant de passer à la dérivée quoi).
Idem pour la dérivée par rapport à y.

Ensuite on remplace par
Et on finit par trouver le résultat en divisant par dx à gauche et à droite.
En fait je ne sais pas si la correction est juste, je voudrais le vérifier avec vous.

Peut on pour calculer une dérivée d'une fonction d'une variable créée à partir d'une fonction de deux variables utiliser le calcul de la différentielle calculé en considérant x et y indépendant puis remplacer y à la fin ?
Est-ce vraiment licite ?
Si oui, quelle est la justification ?

Merci beaucoup.
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[invite8f6d0dd4]

Personne ne peut m'aider ??

[invite57a1e779]

La justification est le théorème de dérivation des fonctions composées.

Le calcul fonctionne déjà avec une variable

Si : et , alors : et, lorsqu'on remplace et par , on obtient : , donc : qui est bien le résultat attendu.

[azizovsky]

Bonjour , il faut regarder le cours à partir de la page 293 :http://fr.scribd.com/doc/26412181/Ca...-Piskounov-Mir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

dans le cas où avec .

[invite3e195a37]

Bonjour,
A ta place je dériverais la fonction g, normalement en utilisant la règle dite de la chaîne, puis je calculerais le gradient de f, et j'essaierais de remplacer la formule du gradient dans celle de ta dérivée.
Cordialement.