Variable complexe, fonction holomorphe

[invite44653ab1]

Bonjour,

Soit la fonction :



z étant pris dans [-Pi,Pi]

Peut on dire que comme log(z) est holomorphe sur C\R- alors f(z) est holomorphe sur C\R- moins {z=1} ?
Peut on dire que = 0 donc que f a une singularité éliminable en z=1 ?


Bien cordialement.
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[invite7c2548ec]

bonjour à tous :

Bonjour,

Soit la fonction :



z étant pris dans [-Pi,Pi]

Peut on dire que comme log(z) est holomorphe sur C\R- alors f(z) est holomorphe sur C\R- moins {z=1} ?
Peut on dire que = 0 donc que f a une singularité éliminable en z=1 ?


Bien cordialement.

On dit argument z étant pris dans ...
oui z étant une singularité simple
Concernant l’holomorphie de f(z) faut quelle satisfait aux condition de Cauchy-Reimman .

Cordialement

[invite44653ab1]

Merci pour votre réponse, f est donc holomorphe sur C\R-moins{z=1}

[acx01b]

tu n'as pas essayé de prolonger par continuité f(z) en 1

tu as trouvé lim{z-->1} f(z) = ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite44653ab1]

J'ai raisonné comme ça après je sais pas si c'est bon :

En considérant le développement au voisinage de 1 de
Puis en divisant par (z-1) on trouve qu'il existe bien une limite en z=1 donc f a une singularité simple en z=1.

[acx01b]

quand






donc peut être prolongée par continuité en 1 par

reste à vérifier que peut également être prolongée par continuité en z = 1 pour avoir l'holomorphie en z = 1

[acx01b]

J'ai raisonné comme ça après je sais pas si c'est bon :

En considérant le développement au voisinage de 1 de
Puis en divisant par (z-1) on trouve qu'il existe bien une limite en z=1 donc f a une singularité simple en z=1.

à mon avis ton argument pour f(z) tient, mais pour avoir l'holomorphie il faut que la dérivée (formelle) de ta série entière pour log(z)/(1-z) ait un rayon de convergence non nul