Fonction analytique d'une variable réelle ou complexe

[inviteedb1f4ef]

Avant toute chose, j'aimerai confirmer :
"Une fonction analytique dans est toujours analytique dans , mais l'inverse est faux."

Vrai ?

Ensuite, il y a un point que je saisie mal dans une démonstration que j'ai que est analytique dans . (le point que je ne comprend pas rejoint peut-être une autre question : est-elle analytique dans ? )

Concrètement :



Jusqu'ici pas de problème. On suppose ensuite et on cherche à utiliser la formule de la somme d'une série géométrique :



le problème c'est que dans la démonstration que j'ai sous les yeux on a ensuite :



Et là, je ne comprend pas. C'est comme si on utilisait au lieu de .

Y-a-t-il quelque chose de spécial du fait que l'on travail dans le plan complexe ? Ou y-a-t-il une négligence sur la multiplication des coefficients de rang impaire par -1 (ce qui en fait ne devrait pas changer grand chose au caractère analytique de la fonction).

Merci d'avance pour vos réponses
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[Arkhnor]

Bonjour.

Une fonction analytique dans est toujours analytique dans , mais l'inverse est faux.

Je ne comprends pas très bien ta question. Si ta fonction n'est définie que sur R, ça n'a pas de sens de parler d'analycité sur C.
En revanche, si ta question est : est-ce qu'on peut prolonger une fonction analytique sur R en une fonction analytique sur C, la réponse est non : est analytique sur R, mais ne se prolonge pas sur C tout entier en une fonction analytique.

Ce que l'on peut dire, en revanche, c'est que si une fonction est analytique sur C, sa restriction à l'axe réel sera analytique. Donc, c'est l'inverse qui est vrai, si j'ai bien compris le sens de ta question.

Si j'ai mal interprété les choses, n'hésites pas à le dire.

Dans la démonstration que tu donnes, il doit y avoir une coquille, il s'agit de

[inviteedb1f4ef]

hum ok.
Ça me rassure pour , je suis pas complètement à la rue en calcul.

Pour le reste tu as bien cerné ma question. les choses sont un peu embrouillées dans ma tête, mais j'en suis qu'au début de mon étude sur les fonctions analytiques et holomorphes. Ce sera surement plus clair d'ici ququ jours.

Merci en tout cas.

[Arkhnor]

C'est pas forcément évident au début, surtout si tu étudies de front l'analycité au sens réel et au sens complexe.

N'hésite pas à poser d'autres questions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

En revanche, si ta question est : est-ce qu'on peut prolonger une fonction analytique sur R en une fonction analytique sur C, la réponse est non

Je pense que la question signifiait "prolonger dans un domaine à définir, contenant l'axe réel".
Dans ce cas l'exemple n'est pas bon : est parfaitement prolongeable, sauf en i et en –i.
En revanche, on ne peut pas prolonger une fonction indéfiniment dérivable sur C et à support compact, car comme elle est nulle sur une partie de R, vis-à-vis de cette partie, son prolongement serait nul, ce qui fait qu'elle ne serait pas continue en z sur la partie support compact.

[inviteedb1f4ef]

J'ai un peu de mal avec la notion de C-différentiabilité.
En prenant l'exemple
Cette fonction (d'après un exercice que j'ai) est supposé être R-différentiable en 0, mais pas C-différentiable.

d'après moi, on a







avec et
Est-ce exacte ? Si oui, cela montre la R-différentiabilité car les dérivées partiels sont définies en 0 et sont continues au voisinage de 0 (exacte également ?)

Ensuite d'après le critère de Cauchy pour la C-différentiabilité, une fonction est C-différentiable en ssi elle est R-différentiable en et que :


et

exacte également ?

Si oui, devrait être différentiable en 0, non ?

[breukin]

Ne dites pas différentiable, mais dérivable.
Cette fonction est effectivement dérivable en 0, de dérivée nulle, et c'est le seul point où elle est dérivable.

[Arkhnor]

Ne dites pas différentiable, mais dérivable.

Pourquoi ne pourrait-on pas dire différentiable ? Les expressions "dérivables au sens complexe" et "C-différentiable" sont synonymes.

En revanche, on ne peut pas prolonger une fonction indéfiniment dérivable sur C et à support compact, car comme elle est nulle sur une partie de R, vis-à-vis de cette partie, son prolongement serait nul, ce qui fait qu'elle ne serait pas continue en z sur la partie support compact.

En même temps, une telle fonction n'est même pas analytique au sens réel ...

Une fonction R-analytique, définie sur un ouvert de R, peut toujours être prolongée en une fonction C-analytique (= holomorphe) sur un ouvert de C, contenant l'ouvert initial.

[breukin]

OK, j'ai zappé sur l'analycité en pensant à dérivabilité infinie sur R.