Longueur d'un arc : compréhension

[inviteedb1f4ef]

Bonjour.
Je ne comprend pas la définition de la longueur d'un arc, en particulier par rapport à sa formule, dans le cas où l'arc est dérivable par morceaux :

Je comprend que la longueur d'un arc est supposé en ququ sorte être la 'distance parcouru par un point qui se déplacerait le long de cet arc'.

Maintenant, si je prend par exemple et que j'applique la formule plus haut sur , on a

ce qui représente la longueur de mais certainement pas la longueur de .

Quelqu'un peut-il m'indiquer ce que je comprend mal ?

Merci d'avance
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[invite34b13e1b]

attention à la définition, ton point M sur la courbe à comme coordonnée(x(t);y(t))
et L=integrale(sqrt(x²+y²)dt
Pour reprendre ton exemple, la longueur de l'arc serait:

[inviteedb1f4ef]

hum...

J'ai l'impression que tu utilise une fonction g(t)=(t, y(t))

par rapport à cette définition :



quel est la fonction et quel est la fonction ?

[inviteedb1f4ef]

Je crois que je comprend.
Mais dans ces cas là la longueur ne serait-elle pas plutot



afin d'utiliser les dérivées partiels de ?

Si j'ai bien compris, on aurait alors la longueur de ma courbe comme arc de dans en utilisant son graphe.

Peut-on attribuer une signification à un arc de dans ? (par exemple ma fonction en se restreignant bien à et non en utilisant son graphe).

Si quelqu'un trouve que ma question veut dire quelque chose et se sent motivé pour répondre, merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited73f5536]

Bonjour.

Un arc paramétré, c'est une application d'un intervalle de à valeurs dans .
Il faut voir ça comme un mouvement d'une particule : la variable est le temps, et l'image de t, c'est la position de la particule à l'instant t.

Si la courbe est dérivable, sa dérivée est un vecteur : le vecteur dérivé. Sa direction indique dans quelle direction la particule se déplace, et sa norme à quelle vitesse.

C'est pour cela qu'on intègre sa norme pour trouver la longueur de l'arc : au plus la vitesse est grande, au plus la distance parcourue est grande, et inversement.

Si tu veux ensuite calculer la longueur d'un graphe d'une fonction fde dans , il faut voir son graphe comme une courbe paramétrée.
On prend donc l'application : la particule suite bien le graphe, de gauche à droite. Sa dérivée est , et la longueur est donc donnée par .

Si au contraire, tu considères que la fonction est un arc paramétré dans , alors, ça veut dire que c'est une particule qui se déplace dans , c'est-à-dire le long d'une droite.
Si tu calcules la longueur, ce que tu vas mesurer, ce n'est plus la longueur du graphe, mais la distance parcourue par cette particule sur la droite.

En espérant avoir été clair.

[inviteedb1f4ef]

très clair.
Merci bcp