Ordre d'un point sur les courbes elliptiques

[invite5a9a6b90]

Bonjour,
Je viens de débuter les courbes elliptiques en cryptologie et je n'ai pas très bien assimilé la notion d'ordre d'un point, j'aimerais savoir à quoi elle correspond et comment elle se calcule. J'ai juste retenue qu'un point d'abscisse 0 est de degré 2 sans réellement comprendre la logique. Si quelqu'un pouvait m'éclairer la déssus ça serait sympa
merci d'avance
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[0577]

Bonjour,

Les points d'une courbe elliptique E forment un groupe commutatif. Je note + la loi de groupe et 0 l'élément neutre.
Un point x de E est dit d'ordre fini (ou de torsion) s'il existe n entier strictement positif tel que n x =0.
(bien sûr, "nx" signifie x+x+...+x n fois). Si x est d'ordre fini, son ordre est le plus petit entier strictement positif n tel que nx=0.
(remarque: la notion d'ordre à un sens dans n'importe quel groupe).

Exemple trivial: x est d'ordre 1 si et seulement si x=0.

Pour la seconde question, je suppose qu'il s'agit d'une courbe elliptique E donnée comme une cubique plane dans le plan projectif;
d'équation affine avec P(x) un polynôme de degré 3 à racines distinctes.
Dans ce cas, l'élément neutre 0 est l'unique point de E se situant "à l'infini" (i.e. en dehors du plan affine (x,y)). Il est de coordonnées homogènes
[0:1:0] : les droites du plan (x,y) passant par ce point sont les droites verticales.
La loi de groupe est donnée par: p+q+r=0 si et seulement si les points p,q,r sont alignés. En particulier, p+q=0 si et seulement s'il existe une droite verticale
passant par p et q, i.e. l'opposé -p de p est le symétrique de p par rapport à l'axe des x.
Ainsi, puisque d'un point p est d'ordre 2 si et seulement si p+p=0, i.e. p=-p, p est d'ordre 2 si et seulement si p est sur l'axe des x.
Il y a 3 tels points qui correspondent aux racines du polynôme P.

Remarque: l'ensemble des points de E d'ordre inférieur ou égal à n forment clairement un sous-groupe de E.
Sur , E est isomorphe comme groupe à .
On en déduit immédiatement que le sous-groupe de E formé par les points d'ordre inférieur ou égal à n est isomorphe
à et en particulier contient éléments.

Exemple: n=2, 3 points d'ordre 2 + 1 point d'ordre 1 (0) = 4 = 2².

[invite5a9a6b90]

Merci pour cette explication détaillée !
Je comprends un peu mieux maintenant