Intégration approchée et bornes d'erreur

[Bleyblue]

Bonjour,

Je dispose ici d'une formule me permettant de calculer la borne supérieur de l'erreur commise lors d'une intégration approchée par la méthode des rectangles ou la méthode des trapèzes.

Si on tente d'intégrer la fonction f(x) sur [a,b], avec n rectangles/trapèzes :

On suppose que |f''(x)| K pour a x b
Si E_T et E_M désignent les erreurs relatives à la méthode des trapèzes et la méthode des rectangles alors :



et

Je ne sais pas d'où ces formules viennent, elles se trouvent dans mon livre d'analyse qui dit qu'on les trouve "dans les livres d'analyse numérique", mais bref ...

Juste en dessous il y a un exemple d'application avec la fonction f(x) = 1/x
On y explique entre autre comment trouver K :

Lorsque 1 x 2, 1/x 1 et donc :

Donc on prend K = 2 mais je ne comprend pas le raisonnement qui se cache derrère ceci.

En quoi est-ce que :



La valeur maximale de f'' sur un intervalle ne dépend quand même pas de la valeur maximale de f sur l'intervalle, si?

merci
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[Bleyblue]

Quand je parle de la méthode des rectangles il sagit en fait de la méthode des points médians

Je viens de me rendre compte que la méthode des rectangles cela désigne autre chose (de moins efficace)

[nissart7831]

En quoi est-ce que :

Bonsoir,

je ne pense pas qu'il faut que tu prennes le 1/x 1 pour une référence à la fonction, mais plutôt une étape pour majorer f"(x).

En effet, si x 1 alors 1/x 1 et donc 1/x³ 1³ car 1/x³=(1/x)³ et que la fonction cube est strictement croissante donc l'inégalité reste dans le même sens en élevant au cube.

Je crois que c'est tout ce qu'il faut y voir.

[Bleyblue]

Ah bon vu comme ça ok.

Mais alors il ne s'agit que d'un cas particulier plus simple ?
De manière générale je dois déterminer le maximum de f'' en utilisant le calcul différentiel non ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[nissart7831]

Ah bon vu comme ça ok.

Mais alors il ne s'agit que d'un cas particulier plus simple ?
De manière générale je dois déterminer le maximum de f'' en utilisant le calcul différentiel non ?

merci

Peu importe, l'essentiel est de trouver le maximum de |f"(x)| sur l'intervalle considéré pour pouvoir borner les erreurs par les méthodes des trapèzes et des rectangles comme tu l'as explicité plus haut.
Mais c'est vrai que de manière générale, il faut étudier comment se comporte f"(x) sur cet intervalle (sens de variation, extremum) pour trouver le maximum.
Mais avant de se lancer dans ces calculs qui, parfois, peuvent être lourds, il vaut mieux essayer de voir s'il n'y a pas un moyen plus direct pour trouver le maximum, comme dans l'exemple avec 1/x.

[Bleyblue]

ok je comprend,

merci pour tes explications