Diviseurs de 0 dans une algèbre

[Médiat]

Bonjour,

Je n'arrive ni à démontrer, ni à trouver de contre-exemple au problème suivant :

Soit une algèbre de dimension finie, commutative, et associative.
Soit et deux idéaux stricts de , vérifiant :

1. 
2. (en tant qu'espace vectoriel)

Peut-on démontrer que


Si quelqu'un a une idée ...
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il me semble que :

muni des lois usuelles ;
et ;
et ;

fournissent un contre-exemple.

[Médiat]

Ok, Merci pour ce contre exemple, qui me permet de préciser mon problème :

Dans le cas qui me préoccupe, il y a une autre hypothèse (difficile de savoir lesquelles sont pertinentes et lesquelles ne le sont pas) :

[invite57a1e779]

Ne serait-il pas plus simple de dire en bon français que les idéaux et sont principaux ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Si, tout à fait, je ne voulais pas jargonner, afin d'être compris par le plus de lecteurs possibles, désolé, si cela t'a paru une complication inutile.

[invite57a1e779]

Je comprends beaucoup plus sûrement le français que le langage formel...

Toujours mon contre-exemple : et sont des générateurs des idéaux et respectivement.

[invite57a1e779]

En regardant de plus près la structure de l'algèbre .

(en tant qu'espace vectoriel)

Si et se décomposent sur les sous-espaces supplémentaires et en : et , alors :

Ne subsiste ( est commutative) que : (*).

et deux idéaux stricts de

Donc : et et (*) est la décomposition de sur les sous-espaces supplémentaires et .

En conclusion est l'algèbre produit et la conclusion attendue est équivalente à l'intégrité de et de .

[Médiat]

En conclusion est l'algèbre produit et la conclusion attendue est équivalente à l'intégrité de et de .

Merci de vous intéresser à ce problème ; dans le problème sur lequel je me suis penché, mon but est en fait de démontrer que et de sont intègres, pour l'un d'entre eux, c'est très facile ( est un sev de dimension 1 ou 2 suivant les cas) par un calcul direct, mais pour l'autre je voulais éviter de me lancer dans les calculs bourrins dont je ne vois pas le bout), c'est pourquoi je me demandais si une démonstration plus élégante (et moins pénible) était possible.

Une propriété de est qu'il existe un tel que tous les éléments de sont des combinaisons linéaires des puissances de (ou n-2)

[invite57a1e779]

Je prends pour l'algèbre de dimension 3, admettant une base dans laquelle la table de multiplication est :



alors : et , donc est une base de . Mais :

donc n'est pas intègre.

Dans le cas général, je note la dimension de d'où la base privilégiée . Je note la multiplication par , c'est un endomorphisme de l'espace vectoriel . Si est le polynôme caractéristique de , alors doit être isomorphe à un quotient du genre : qui n'est pas intègre si n'est pas irréductible... (à vérifier plus précisément).

[Médiat]

Bonjour,

Merci, j'ai peur d'être obligé de passer au calcul de bourrin

[invite57a1e779]

On écrit dans la base privilégiée :



ce qui permet de définir deux polynômes et par :



avec : , , .

On suppose désormais : .

Le polynôme n'est pas irréductible : il existe deux polynômes et non constants tels que : , d'où les conditions de degrés : .

Je note alors : et . Le polynôme est donc non nul de la forme :



et par suite, du fait que est libre : .

D'autre part : , d'où :



et n'est pas intègre.

Si , alors est intègre si, et seulement si: .

Si , alors, avec la même technique que dans le cas général, on écrit : , et est intègre si, et seulement si, le polynôme est irréductible, c'est-à-dire : .

En fait, il s'agit d'une adaptation du théorème de Frobenius : le fait que l'on n'ait pas d'élément unité dans contraint à n'utiliser que des polynômes à terme constant nul.

[Médiat]

Magnifique, merci,

Je n'ai pas le temps ce "long week-end" mais je travaillerai sur cette piste et je posterai ici les résultats que j'obtiendrai (si ... )

[azizovsky]

Salut , j'essaye de comprendre ce que God's breath a écrit ,j'ai trouvé ce théorème :http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...tin-Wedderburn