Solution particulière Equation différentielle

[invite2463f59e]

Bonjour à vous,

J'ai quelque petit problème avec mes équations différentielles du second membre.

Voici le problème:

Eo: y''+4y'+3= e^(3t)

soit après calcul du discriminant, r1=1 et r2=3

Ma solution y(t)=C1e^(t)+C2e^(3t) pour Eo=0

Donc si je prend Eo=e^(3t) ma solution particulière est y(t)= P(t)e^(rt) soit y(t)=(Ax²+Bx+c)e^(3t) ?

Pour la suite j’obtiens a=1/2 et b=-1 (système résolut)

soit y(t)=((x²/2)-x)e^(3t)

La tous va bien (si j'ai pas faux depuis le début ) et je dois verifier y(0)=y'(0)=1 et je tombe sur y(0)=0 et y'(0)=-1

J’espère avoir été assez claire, si vous pouviez m'éclairer sur l'histoire des solutions particulières, Merci.

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

L'équation est-elle bien y''+4y'+3y= e^(3t) ?
dans ce cas, les racines de l'équation caractéristique ne sont pas 1 et 3 (vérification immédiate).
De ce fait, la solution particulière à trouver est simplement de la forme y(t)=a e^(3t).

Deux questions : "ma solution particulière est y(t)= P(t)e^(rt) soit y(t)=(Ax²+Bx+c)e^(3t) ?" Pourquoi prendre P(t) de degré 2 et pas 1 ou 3 ? et c'est quoi ce x ????

"Pour la suite j’obtiens a=1/2 et b=-1" Bizarre ! Il n'y a pas de a et de b, mais un c (et aussi A et B). Même si a est A et b est B, ça ne règle pas la question du c.

Cordialement.

[invite2463f59e]

y'' - 4y'+3y= e^(3t) est l'équation
Le "x" est la variable qui aurais du être "t", et j'obtenais A=1/2, B=-1 et C=0
Désoler pour les fautes d'écritures

Si je comprend la solution dépend du SM(second membre) donc ici y(t)=a e^(3t), si par contre le SM aurais été Eo=(t+1)e^(3t) ma solution serais y(t)=(At+B)e^(3t)

Cordialement.

[gg0]

Ok.

Les racines sont bien 1 et 3 maintenant, donc les solutions de base sont e^t et e^(3t) qui est résonnante.
la solution naturelle à essayer est ae^(3t) puisque le second membre est de cette forme. Mais ae^(3t) est solution de l'équation sans second membre, donc n'est pas solution de l'équation complète.
Dans un cas comme celui-ci (résonance), on essaie de multiplier par x (*) : y=a x e^(3t)
En remplaçant, on trouve la valeur de a. Bizarrement, c'est celle que tu donnes, alors que ton a ne concerne pas x mais x².
Tes calculs sont faux, mais on ne peut pas te dire où ça coince, tu ne les as pas écrits

Cordialement.

(*) si ça ne marche pas, on remultiplie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2463f59e]

J'ai trouvé ça pour m'aider:

Plus généralement, si tu cherches une solution de ay''+by'+cy=P(x)e^(rx) où P est un polynôme alors tu peux l'avoir sous la forme y(x)=x^(p)Q(x)e^(rx) avec:
¤ Q un polynôme de même degré que P
¤ p = 0 si r n'est pas racine de l'équation caractéristique,
¤ p = 1 si r est racine simple de ..................
¤ p = 2 si r est racine double de ..................

SI j'applique ça je me retrouve avec y(t) ou y(x) = (Ax)e^(3x)
avec : p=1 car r=3 donc r est une racine simple du polynôme caractéristique (P(x)=r²-4r+3=0)et Q(x)=A car P(x) de degré 0

Une fois que j'ai trouver ma solution y(x) je la dérive pour trouver y'(x) et y"(x)
y(x)=Axe^(3x)
y'(x)=(3Ax+A)e^(3x)
y"(x)=(9Ax+6A)e^(3x)

Et a partir d'ici je bloque, je trouve soit A=-1/10, soit A=-1/4, soit A=3/10 en ayant remplacé les fonctions trouvées dans Eo

systeme 1:
12Ax=0
-10A=1

systeme 2:
12A=4
-10A=3

J'ai essayer plusieurs système pour essayer de comprendre,

Cordialement.

[gg0]

Je ne sais pas ce que tu fabriques,


mais il suffit simplement de remplacer y (donc aussi y' et y") dans l'équation pour trouver une équation donnant la valeur de A.

Tu donnes l'impression de faire des calculs sans avoir de bonne raison, au hasard. Comprends-tu vraiment ce qu'est une équation différentielle ? Une solution ?

A noter : Ce que tu as trouvé généralise ce que je t'ai dit (et est incomplet).

Cordialement.

[invite2463f59e]

Donc je dois remplacer dans Eo par rapport aux valeurs des solutions trouvées ?
Soit y'' - 4y'+3y= e^(3x)

=> (9Ax+6A)e^(3x) - 4[(3Ax+A)e^(3x)] + 3[Axe^(3x)] = e^(3x)
=> 9Ax+6a-12Ax-4A+3Ax = 1
=> A=1/2
Solution particulière: y(x)=(1/2)xe^(3x)
Solution complétè : y(x) = C1e^x + [C2 + (1/2)x]e^(3x)
Les condition initiale sont a appliquer a la solution complete aprés avoir trouver C1 et C2 ?

[gg0]

Bien évidemment,


les conditions initiales concernent la solution de l'équation complète, et vont permettre de trouver les valeurs de C1 et C1. Mais dans ton premier message, tu ne parlais pas de conditions initiales :
"je dois verifier y(0)=y'(0)=1 et je tombe sur y(0)=0 et y'(0)=-1"
C'est toi qui dois faire une vérification ? Ou c'est la fonction cherchée qui doit vérifier y(0)=y'(0)=1 (conditions initiales) ? Il faut savoir, tu n'es pas un fonction inconnue, toi !

[invite2463f59e]

Oui, ce sont bien des conditions initiale poser dans l'énoncer pour trouver les constantes C1 et C2 après vérification de mes calcules je trouve la solution complète y(t)=e^t+(1/2)te^(3t) avec comme valeur C1=1 et C2=0 et tout rentre dans l'ordre.

Merci des explications, Cordialement.