la fonction exponentielle et l’équation différentielle

[invite415a606b]

Bonjours à tous :
Je voudrais savoir comment démontrer que:
la solution de cet système :
y=y'
et
f(0)=1

est la fonction exponentielle e^x.
Merci d'avance.
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[Amanuensis]

En partant de quelle définition de la fonction exponentielle?

[invite415a606b]

J'ai pas compris , il une seul définition ,non?

[Amanuensis]

Si la définition est "la seule solution de l'équation diff y=y' égale à 1 en 0", la démonstration n'est pas difficile...

Si c'est la réciproque de la primitive de 1/x, la démonstration est un peu plus compliquée.

Si c'est par la série infinie somme des x^n/n!, encore une autre démo...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite415a606b]

c'est ce que je voudrais.
mais s'il y a une autre j'aime bien la connaître

[Médiat]

Bonjour,

Peut-être pourriez-vous travailler un peu, avec les 3 définitions données ci-dessus, vous avez 3 démonstrations à fournir
1) Trop facile pour donner le moindre indice.
2) Dérivée d'une primitive + dérivée de la composée de 2 fonctions : 1 ligne
3) Dérivée d'une série entière : 1 ligne pour la dérivée, 2 lignes pour une récurrence simple

[gg0]

Mtrf,

ton dernier message est inquiétant : As-tu compris ce que disait Amanuensis ? Car il te disait qu'on ne peut pas te répondre sans savoir comment tu définis l'exponentielle et tu réponds "c'est ce que je voudrais" comme s'il avait émis une proposition. Le passage "la seule solution de l'équation diff y=y' égale à 1 en 0" est une définition possible de l'exponentielle, pas l'énoncé de ton exercice. Tu devrais lire vraiment ce qu'on t'écrit, pas des morceaux de phrases.

Cordialement.

[Amanuensis]

Peut-être ma faute, parce que j'ai édité le message dans les 5' ?

[gg0]

Ok.

Je comprends mieux le message de Mtrtf.
Mais il ne dit pas quelle est sa définition (comme souvent, avec les poseurs de question; ils parlent d'objets qu'ils n'ont pas commencé à étudier).

Cordialement.