Equation différentielle du 2eme ordre - Exponentielle

[invitef9469222]

Bonjour!

Je cherche à résoudre l'équa diff suivante :

y"-4y'+4y= (x²-x)exp(2x)

J'ai trouvé la solution homogène avec une racine double égale à 2(solution d'ordre 2). En suivant mon cours, je trouve que la solution particulière serait de la forme :

y=x²exp(2x)(ax²+bx+c)

Seulement voila, en dérivant y en y' et y", je me retrouve avec des équations qui n'en finissent plus, c'est ingérable...Où me suis-je trompé ?

Merci!
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[invite57a1e779]

C'est la bonne méthode, tu devrais trouver : .

[invitef9469222]

Merci!

Je vais m'y remettre alors !

[invite63e767fa]

La méthode de la "variation de la constante" sera plus rapide.
En remplacant la constante C de la solution homogène y=C*exp(2x) par une fonction inconnue f(x) :
y = f(x) * exp(2x)
Le report dans l'équa. dif. complète conduit à une équation très aisée à résoudre pour obtenir f(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef9469222]

Ma solution homogène est (K1+K2x)exp(2x) donc (k1+K2x) n'est pas une constante..si ?

[invite57a1e779]

Bien sûr que n'est pas une constante, et je ne pense pas que JJacquelin ait pensé à la méthode de la "variation de la constante" telle qu'on la pratique usuellement pour les équations linéaires du second ordre : il faudrait en effet faire varier les deux constantes et .

Comme tu sais que la solution est de la forme , étant polynomiale, tu peux, dans un premier temps, reporter cette expression dans l'équation différentielle, simplifier par , obtenir une équation différentielle en dans laquelle tu reportes la forme connue.
En procédant ainsi, tu allèges les calculs.

[invitef9469222]

Merci à tous, vous m'avez été d'une grande aide!

Passez une bonne soirée.