Plan à 3 dimensions

[invite975b617f]

Bonjour,

Je suis bloqué à la question de mon exercice qui est le suivant :

Supposons qu'une particule se déplace suivant une courbe dont l'équation
est r(t) = (2 cos t; 2 sin t;-1 + sin t) ou t € [0; 2].
a) Est-ce que la particule se déplace dans un plan? Si oui, determinez ce plan.
b) A quel moment la particule sera le plus éloignée du plan  : 2z - x - y = 10? Justifiez

Pour la question a) , j'ai trouvez le plan qui est : 4y - 8z = 8

Pourriez-vous m'indiquer un chemin a prendre pour répondre à la question b) ?

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Calcule la distance entre le point de coordonnées r(t) et le plan.

Rappel : La distance entre M(p,q,r) et le plan d'équation ax+by+cz+d=0 est


Cordialement.

[invite975b617f]

J'ai calculé la distance mais j'ai un résultat en fonction de t mais comment je peux faire pour trouver le point le plus éloigne ? il faut que j'essaye pour plusieurs valeurs ?

Cordialement

[gg0]

Tu n'as jamais étudié le maximum d'une fonction de t ?
Etudie la fonction distance (en n'oubliant pas que t est borné).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite975b617f]

Oui effectivement je n'avais pas remarqué il suffisait juste d'égaliser la dérivée à zero pour trouver un maximum ou un minimum et ensuite la seconde dérivée me donnera la concavité ce qui m'indiquera si c'est un maximum ou un minimum.

Merci.

[invite975b617f]

Ensuite, Si P1 est le point du plan  qui maximise la distance, determinez P1.
J'ai pensé à résoudre l'équation de D pour P1= (x,y,z) et l'équation du plan 2z-x-y=10 mais, je ne trouve pas de résultat.

[gg0]

Attention, le maximum peut éventuellement être pour t=0 ou t=2.
Pour P1, s'il s'agit bien du point de la courbe, comme tu connais t tu as immédiatement les coordonnées du point correspondant.

Cordialement.

[invite975b617f]

P1 correspond au point du plan 2z-x-y=10.
Je peux prendre les valeurs de r(t) et remplacer x,y,z par ces valeurs dans le plan ?

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas.

As-tu un énoncé précis ?

[invite975b617f]

Supposons qu'une particule se deplace suivant une courbe dont l'equation
est r(t) = (2 cos t; 2 sin t;-1 + sin t) ou t € [0; 2Pi].
a) Est-ce que la particule se déplace dans un plan? Si oui, determinez ce plan.
Justiez.
b) A quel moment la particule sera le plus eloigné du plan  : 2z - x - y = 10?
Où se trouve la particule à cet instant?
Si P1 est le point du plan  qui maximise la distance, determinez P1. Justiez.

[gg0]

Ok !

La dernière phrase n'a pas bien de sens, puisque la distance est maximisée par le point de la courbe, pas par un point du plan.

j'en vois une interprétation possible qui est : la distance du point P (particule) au plan est la longueur PP1 où P1 est le projeté de P sur le plan. Où est le point P1 lorsque la distance est maximale.

Tu as alors un point P (tu as trouvé ses coordonnées, et tu cherches son projeté sur le plan. Soient (x, y, z) les coordonnées de P1. Ces coordonnées vérifient l'équation du plan (première équation); et le vecteur est orthogonal au plan, donc de coordonnées proportionnelles au vecteur de coordonnées (2,-1,-1) (normal au plan, donné par l'équation) ce qui donne deux autres équations. Il ne reste qu'à résoudre le système de trois équations.

Bon travail.

NB : Ce sont des applications de méthodes que tu as vues en cours (ou es censé connaître).

[invite975b617f]

Je ne vois pas trop les 2 dernières équations ? Il y a PP1 proportionnel a (-1,-1,2) mais la dernière n'est pas très claire pour moi

[gg0]

La proportionnalité te donne 2 équations; écris-la vraiment.

[invite975b617f]

J'ai trouvé ouf ! Je trouve 4 équations

k(x-2)=-1
ky=-1
k(z+1)=2
2z-x-y=10

Ensuite je résoud ce système et je trouve les coordonnées de mon point.

Merci beaucoup

[invite975b617f]

Si on a une droite
: x = 1; y = t; z = -1 + 2t ou t € R.
Pour trouver le moment où la particule sera le plus près de cette droite, est-ce que je dois prendre la formule pour calculer la distance entre un point et une droite et poser (1-2cos(t) , t-2sin(t) , 2t-sin(t)) pour PP1 ?

[gg0]

Ben ... tu reprends évidemment la même méthode en adaptant.
pourquoi demandes-tu s'il faut le faire ?

[invite975b617f]

Parce que en essayant je trouve 2 valeurs où la distance est minimal. Donc je n'étais pas sûr d'avoir juste

[invite975b617f]

Mais si Q est le point de la droite
qui minimise la distance. Pour déterminez Q, je considère toujours que PQ est proportionnel à n qui est (0,1,2) ?

[gg0]

Bon,

je crois qu'il te manque un certain nombre de connaissances en géométrie analytique. Et que tu as fait sans comprendre ce que je t'ai proposé.
Si tu as ce genre d'exercices, c'est que tu es censé avoir appris les bases. Comme il ne te servira à rien de faire sans comprendre (ça ne permet pas de faire un exercice légèrement différent, la preuve : ce que tu proposes n'a rien à voir avec la question), je te propose de prendre soit tes cours, soit un bouquin sur le sujet, d'apprendre, puis de revenir sur tes exercices pour voir qu'ils sont en fait très simples. Les contenus : repère, coordonnées, équations de plans, équations de droites, orthogonalité et produit scalaire, produit vectoriel, distances de point à point, de point à plan ou à droite.

Bon travail !

NB : Vu l'autre sujet que tu as posté, tu as sacrément besoin de ces bases !

[invite975b617f]

Pour trouver le moment où la particule est le plus près de la droite j'ai égalisé la dérivée de la distance à 0 afin de trouver les points où la pente est nul. Cela me donne des extremums. Pour cela j'ai posé P(2cos(t) , 2sin(t), -1+sin(t)) et P1(1,0,-1) puis v qui est le vecteur directeur (0,1,2). J'ai trouvé un t où la distance est minimum puis pour trouver le point sur la droite qui minimise la distance j'ai repris la même démarche mais cette fois P est connu. Sauf que en effectuant le produit vectoriel de PP1 avec v tous mes t se sont annulés alors que j'ai utilisé la bonne formule.

[gg0]

Comment trouver le projeté d'un point sur une droite ?

[invite975b617f]

En utilisant le produit scalaire

[gg0]

Ta réponse ne donne pas une méthode !

Bon, je reviens sur ton message #15 :

Si on a une droite
: x = 1; y = t; z = -1 + 2t ou t € R.
Pour trouver le moment où la particule sera le plus près de cette droite, est-ce que je dois prendre la formule pour calculer la distance entre un point et une droite et poser (1-2cos(t) , t-2sin(t) , 2t-sin(t)) pour PP1 ?

Je n'y avais pas trop fait attention, car je ne comprenais pas ce que tu fabriquais. mais il y a une énorme erreur de compréhension là derrière : Tu utilises t comme paramètre pour les équations de la droite, et tu utilises t comme paramètre de position du point M sur sa trajectoire, la courbe. Mais ce n'est pas le même nombre. Employer la même lettre pour deux nombres distincts, c'est le plus sûr moyen de se tromper.

Revenons à tes derniers messages :

Pour cela j'ai posé P(2cos(t) , 2sin(t), -1+sin(t)) et P1(1,0,-1)

C'est quoi ce P1 ? Un point de la droite ? Quel intérêt de considérer le vecteur PP1 ?

La première chose à faire, et de choisir un autre paramètre pour les équations de la droite, u par exemple. Puis de chercher où est le projeté du point M quelconque de la courbe sur la droite. En utilisant le produit scalaire, on trouve une valeur de u, puis on peut écrire la distance, qui est une fonction de t; on étudie cette fonction sur [0;2] et on trouve une seule valeur (pas très simple) pour laquelle la distance est minimale.

Bon travail !

[invite975b617f]

A d'accord il faut d'abord utiliser le produit scalaire. Dans le livre il disait d'utiliser seulement l'équation de la distance entre un point et une droite.

Merci de l'éclairement.

[invite975b617f]

Pour trouver u en fonction de t il faut bien égaliser le produit scalaire à zéro ? pour pouvoir isoler u

[gg0]

Oui, on trouve u en fonction de t en disant que le produit scalaire est nul.

Mais si tu as dans ton cours la formule de la distance d'un point à une droite, il suffit de l'utiliser.

Cordialement.

[invite975b617f]

D'accord merci beaucoup de votre aide