Matrices hermitiennes et commutants

[invitea40bd3ea]

Bonjour,

L'exercice que je dois faire pour demain concerne l'algèbre linéaire et s'énonce comme suit :

Soient A une matrice de Mn(C) et B une matrice hermitienne (de taille n sur n, aussi) c'est-à-dire dont la matrice transposée de la matrice conjuguée est elle même.
On définit les endomorphismes L1 et L2 sur l'ensemble de matrices hermitiennes par :

L1 = (A*B + B*C)/2
L2 = (A*B - B*C)/(2*i) (où i est l'unité imaginaire et C la transposée de la matrice conjuguée de A)

Montrez que L1 et L2 commutent.

J'ai essayé de montrer ce résultat par le calcul (bien sur en utilisant le fait que B est hermitienne) mais les calculs n'ont pas abouti. Merci d'avance.
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[inviteed684306]

Salut
Comprends-tu la question ? Pour toi, que signifie commutent ?

[invitea40bd3ea]

Mince j'ai oublié quelque chose, L1 et L2 sont des endomorphismes, donc prennent en argument B (j'ai oublié d'écrire l'argument).
En fait il faut montrer : pour toute matrice hermitienne B :
L1(B)*L2(B) = L2(B)*L1(B)

[inviteed684306]

Pas vraiment. Il faut montrer que

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea40bd3ea]

Merci beaucoup ! Du coup ca marche mieux... C'était un bug, on a tellement l'habitude de se dire "composer les endomorphismes c'est multiplier les matrices" ...
Encore merci.