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invitecbade190 · 12/06/2014, 00h45

Bonsoir à tous,

J'ai le texte suivant que je n'arrive pas à comprendre entièrement, le voiçi :

Soit $\text{[math]}$ un corps, soit $\text{[math]}$ une $\text{[math]}$ - algèbre de type fini et soit $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , l'évaluation $\text{[math]}$ induit un plongement $\text{[math]}$ qui fait de $\text{[math]}$ une extension de $\text{[math]}$ .
Pour toute extension $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , on note : $\text{[math]}$ l'ensemble $\text{[math]}$ .
Fixons une présentation $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ $. Elle induit une bijection : $\text{[math]}$ , qui est fonctorielle en $\text{[math]}$ ( à un $\text{[math]}$ - uplet : $\text{[math]}$ correspond le morphisme de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ induit par l'évaluation des polynômes en $\text{[math]}$ ). Ainsi, on peut voir $\text{[math]}$ comme l'ensemble des $\text{[math]}$ - points de la variété algébrique d'équations $\text{[math]}$ , dont $\text{[math]}$ est censé être la déclinaison shématique.

On fixe un clôture algébrique $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , et on désigne par $\text{[math]}$ le groupe de Galois de $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ : l'ensemble des points fermés de $\text{[math]}$ .
Comme $\text{[math]}$ est un extension finie de $\text{[math]}$ , il admet un $\text{[math]}$ - plongement dans $\text{[math]}$ , La composée $\text{[math]}$ est un élément de $\text{[math]}$ dont l'image sur $\text{[math]}$ est par construction égale à $\text{[math]}$ .

Réciproquement, donnons nous un $\text{[math]}$ - morphisme $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ est de type fini, son image est engendré par un nombre fini d'éléments, et est donc une extension finie $ L $ de $ k $, Le morphisme $ \ A \to \overline{k} $ se factorisant par la flèche surjective $ \ A \to L $, son image $ x $ sur $\text{[math]}$ , appartient à $\text{[math]}$ et vérifie $\text{[math]}$ .

Ainsi, la flèche canonique $\text{[math]}$ a pour image $\text{[math]}$ .

Questions :

- Pourquoi la composée $\text{[math]}$ : élément de $\text{[math]}$ , a pour image sur $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ par construction ?
- Pourquoi si $\text{[math]}$ est une extension finie de $\text{[math]}$ , alors, il admet un $\text{[math]}$ - plongement dans $\text{[math]}$ ?
- Pourquoi $\text{[math]}$ est surjective ? Pourquoi $\text{[math]}$ a pour image $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ? Pourquoi $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements.

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