Bonsoir à tous,
J'ai le texte suivant que je n'arrive pas à comprendre entièrement, le voiçi :
Soitun corps, soit
une
- algèbre de type fini et soit
.
Si, l'évaluation
induit un plongement
qui fait de
une extension de
.
Pour toute extensionde
, on note :
l'ensemble
.
Fixons une présentationde
$. Elle induit une bijection :
, qui est fonctorielle en
( à un
- uplet :
correspond le morphisme de
vers
induit par l'évaluation des polynômes en
). Ainsi, on peut voir
comme l'ensemble des
- points de la variété algébrique d'équations
, dont
est censé être la déclinaison shématique.
On fixe un clôture algébriquede
, et on désigne par
le groupe de Galois de
.
Soit: l'ensemble des points fermés de
.
Commeest un extension finie de
, il admet un
- plongement dans
, La composée
est un élément de
dont l'image sur
est par construction égale à
.
Réciproquement, donnons nous un- morphisme
. Comme
est de type fini, son image est engendré par un nombre fini d'éléments, et est donc une extension finie $ L $ de $ k $, Le morphisme $ \ A \to \overline{k} $ se factorisant par la flèche surjective $ \ A \to L $, son image $ x $ sur
, appartient à
et vérifie
.
Ainsi, la flèche canoniquea pour image
.
Questions :
- Pourquoi la composée: élément de
, a pour image sur
:
par construction ?
- Pourquoi siest une extension finie de
, alors, il admet un
- plongement dans
?
- Pourquoiest surjective ? Pourquoi
a pour image
sur
? Pourquoi
?
Merci d'avance pour vos éclaircissements.
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