Intégrale trigonométrique et changement de variable

[inviteaca2c26b]

Bonjour à tous,

Voici une intégrale qui me pose problème. Elle doit être résolue par changement de variable. Cependant lorsque j'effectue mon changement de variable, il me reste toujours du cos(x²) , donc ça ne va pas. Comment dois-je m'y prendre pour contrer ce souci?

Voici l'énoncé:

Intégrale allant de 0 à (racine de pi)/2 de: x*sin(x²)*cos²(x²)*dx

Et voici ce que j'ai fait:

On pose: u(x)=sin(x²) => du=2x*cos(x²)*dx
On remplace dans l'intégrale,on trouve:
= intégrale de x*sin(x²)*cos(x²)*cos(x²)*dx
= intégrale de x*cos(x²)*dx*sin(x²)*cos(x²)
= intégrale de (du/2)*u*cos(x²)
= (1/2) intégrale de du*u*cos(x²)


Merci d'avance pour vos réponses!
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[gg0]

Bonsoir.

En posant u=x², on se ramène à une intégrale simple (trigonométrique). Pourquoi aller chercher un changement compliqué ? Que tu n'arrives pas à faire, puisqu'il te reste des x.
Il y a effectivement moyen de faire plus direct en prenant u=cos(x²), mais essaie déjà avec u=x² pour voir.

Cordialement.

[invited4f3b9a2]

Salut,
Je vais prendre pour acquis que tu as le minimum de connaissance en calcul intégrale, donc j'ai programmé le calcul de manière à ce qu'il soit le plus simple et le plus compréhensible possible, n'hésite pas si tu as des questions. Mais tu ne peux pas avoir plus simple que cela, toutes les étapes sont là. On évalue d'abord la primitive:



Ensuite, tu l'évalues aux bornes que tu as données:

[gg0]

Bonjour RealmPGM4.

Pourquoi ne pas faire complétement les changements de variables (u varie de 0 à pi/4,...) ?
Et tant qu'à faire, poser u=cos(x²), puisque tu lui corrige son exercice, pourtant facile après conseil.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited4f3b9a2]

Bonjour gg0,
Simplement par soucis de compréhension. Si ezercice n'est pas en mesure de résoudre une simple intégrale trigonométrique, j'en déduis qu'il ne possède pas une grande connaissance du calcul intégrale. Donc, il aurait été un peu stupide d'utiliser un changement de variable complexe alors qu'un plus simple s'impose. Concernant les changements de bornes, il aurait été peu pertinent de les lui expliquer de façon exhaustive considérant que l'on peut passer par la primitive. Je le rappelle, j'ai programmé cette intégrale de la façon la plus simple et compréhensible qui soit. Si ezercice veut plus de détail sur les changements de bornes, il me fera grand plaisir de les lui expliquer.

Cordialement.

[invited4f3b9a2]

P-S.: Nous sommes tous d'accord que cette intégrale est habituellement et directement résolue par le changement u=cos(x^2). Or, ce n'est pas le raisonnement le plus trivial.

[gg0]

Tu as compliqué une situation qu'il était prêt à saisir, puisqu'il avait essayé avec sin(x²). Il n'a simplement pas pensé à prendre le cos.
Sinon, tu as fait ce que je lui avais proposé hier, et qu'il avait peut-être fait

Cordialement.

[invited4f3b9a2]

En fait, je trouve un peu comique que la personne qui critique ma façon de faire est celle qui a donné la réponse la plus évasive qui soit. La seule chose que j'ai fait, c'était de lui donner une démarche complète et triviale. S'il ne l'aime pas et en veut une autre, il peut le demander et il me fera plaisir de la lui donner, mais sauf ton respect, si tu ne l'aimes pas, c'est ô combien impertinent.

Cordialement.

[Médiat]

La seule chose que j'ai fait, c'était de lui donner une démarche complète et triviale.

Merci de respecter les règles suivantes : http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html

Médiat, pour la modération

[inviteaca2c26b]

Bonjour,

Je vous remercie encore pour avoir pris le temps de me répondre.

Oui, j'ai du mal avec les changement de variable. J'ai compris le détail des calculs, c'est ultra simple vu comme ça. Mais pourquoi je ne trouve pas du tout la même chose de mon coté*?

En principe je procède comme suit*:
1) Je cherche un chgt de var évident u (en fonction des primitives usuelles)
2) Je calcule la dérivé de ce chgt de var, notée du
3) Je remplace les x et les dx par les expressions obtenues à partir de u et du
EN GENERAL,C'EST ICI QUE JE BOGUE, dans les cas ou les du ne sont pas apparents.
4) Je calcule les nouvelles bornes de l'intégrale en les exprimant par rapport à u
5) Ensuite je cherche des primitives usuelles en u
6) Je remplace u par son expression en x
7) Et enfin je calcule les primitives => conclusion

Voici ce que j'ai fait*:

chgt de var*: u(x)=x²
du=2x.dx

L'intégrale se réécrit*: (½) [sin(u).cos²(u).du]

Calcul des bornes de l'intégrale*:
u(o)=o
u(racine de pi*/2)=pi/4

intégrale de o à pi/4 de*: (½) [sin(u).cos²(u).du]
On sait que*: cos²(u)+sin²(u)=1 => cos²(u)=1-sin²(u) donc*:
= (½) [sin(u).(1-sin²(u)).du]
= (½)intégrale de o à pi/4 de sin(u)*du – (½) intégrale de o à pi/4 de sin^3(u)*du
= (1/2) primitive de o à pi/4 de [-cos(u)]- (½)primitive de o à pi/4 de [sin^4(u)/4]
= (1/2) primitive de o à pi/4 de [-cos(x²)]- (½)primitive de o à pi/4 de [sin^4(x²)/4]
Ensuite, j'ai évalué aux bornes pi/4 et 0. Le résultat obtenu me paraît assez étrange, à cause des cos et sin en (pi²/16) qui ne se simplifient pas => Donc c'est faux.


Mes autres questions*:

Quand on doit résoudre une intégrale trigonométrique, plusieurs possibilités s'offrent à nous*:
-soit on utilise les règles de Bioche
-soir on utilise le changement de variable t = tan(x*/2)

1)Le problème c'est que quand j'utilise les règles de Bioche, surtout celles avec du (pi-x) et (pi+x) je me trompe quasiment tout le temps.De plus, elles ne marchent pas à tous les coups, donc c'est un peu une perte de temps de s'en servir...
NB*: Néanmoins,dans l'intégrale que j'ai écrite que donne le détail des règles de Bioche (dans les 3 situations possibles: cos, sin et tan)*?

2)J'ai visionné un cours sur le net dans lequel le prof disait que le meilleur changement de variable à faire correspondait à la fonction dont la dérivée est apparente.Dans l'exercice, pour les deux fonctions trigo, il y avait un début de dérivation possible, donc comment savoir que le changement en cos était plus approprié que celui en sin*?

3)Enfin, à quel moment doit-on privilégier le changement universel t= tan (x/2) aux autres techniques*?

4)Est ce que vous pouvez me donner des exemples détaillés de 2-3 intégrales résolues de 2 manières différentes (la première avec les règles de Bioche dans le cas où le chgt de var est en sin(x) et en tan(x), et la deuxième, avec le chgt de var universel t=tan(x/2)

Thanks*!

[inviteed684306]

Salut !

Voici le problème: 0 à pi/2 sont les bornes pour la variable x et 0 à pi/4 sont les bornes pour la variable u.

Donc lorsque tu reviens à la variable x, tu doit évaluer de 0 à pi/2 et non de 0 à pi/4.

[inviteaca2c26b]

Et pourquoi?

[inviteed684306]

Désolé, mais je ne parviens pas à répondre. Peut être gg0 et RealmPGM4 pourraient m'aider.

[gg0]

Bonjour Ezercise.

"Et pourquoi? " parce que sinon c'est faux ! Tu as écrit :
"= (1/2) primitive de o à pi/4 de [-cos(u)]- (½)primitive de o à pi/4 de [sin^4(u)/4]
= (1/2) primitive de o à pi/4 de [-cos(x²)]- (½)primitive de o à pi/4 de [sin^4(x²)/4]"
Déjà, ce n'est pas primitive, c'est la fonction elle même puisque tu as déjà écrit les primitives (dont une est fausse !!).
Donc tu as :
(1) (le deuxième crochet est faux, j'y reviendrai)
(2)
Ben non ! la ligne (1) vaut

et la ligne 2 vaut

Puisque tu dis que c'est x qui varie de 0 à pi/4, plus x²=u. Ce qui change le résultat.

Bon revenons sur l'erreur : n'est pas une primitive de . Revois tes règles d'intégration (il y en a très peu).

Ce qui est dommage, c'est que tu t'es lancé dans un développement inutile, sin(u).cos²(u) est déjà presque une dérivée, et "intégrale de o à pi/4 de*: (½) [sin(u).cos²(u).du]" est une intégrale évidente, comme on en voit en terminale.

Enfin, pour ta méthode de travail :
"1) Je cherche un chgt de var évident u (en fonction des primitives usuelles)
2) Je calcule la dérivé de ce chgt de var, notée du
3) Je remplace les x et les dx par les expressions obtenues à partir de u et du
EN GENERAL,C'EST ICI QUE JE BOGUE"
C'est normal que tu coinces ! Le changement de variable n'a d'intérêt que s'il intègre déjà la considération de ce qui va se passer. Tu dois parfaitement savoir dériver (pour l'instant, tu ne sais pas assez dériver) pour reconnaître les formes qui vont servir.
Par exemple, dans cet exercice, tu aurais dû voir que sin est (au signe près) la dérivée de cos, et x (à un coefficient près la dérivée de x². Tu avais immédiatement la reconnaissance d'une dérivée (à constante multiplicative près).
La technique de changement de variable est une méthode qui marche parfois si on tombe bien, mais elle n'a rien de miraculeux. D'ailleurs, on ne sait pas "calculer" la plupart des intégrales. Si, en plus, comme tu le fais, on trafique le résultat à la fin, elle ne sert plus à rien. L'idée est de passer à une autre intégrale, puis de calculer cette nouvelle intégrale.
Si tu veux revenir à la variable de départ, c'est sans doute que tu confonds deux parties de ton cours (calcul de primitives et calcul d'intégrales).

Cordialement.