Théorème de Baire

[invitee791e02a]

Bonjour,

le théorème de Baire affirme ceci:

Tout espace métrique complet ou topologique localement compact est de Baire.

De plus, un espace est de Baire si toute partie maigre est d'intérieur vide et une partie est dite maigre si elle est contenue dans une union dénombrable de fermés d'intérieur vide

Voila je ne comprends pas pourquoi on peut affirmer grâce au théorème de Baire qu'un espace de Banach n'est pas maigre ?

Car si j'applique "bêtement" le théorème de Baire je sais alors que mon espace de Banach sera de Baire donc en particulier que toute partie maigre est d'intérieur vide mais en quoi cela montre t-il que mon espace de Banach n'est pas maigre ???

Merci
-----

[invitee0fcad7a]

si l'espace de Banach entier est Baire et maigre alors son intérieur est vide, i.e. il est vide.

vrai ou pas?

[invitee791e02a]

Un espace de Banach qui a son intérieur vide est vide ?

[invite179e6258]

Un espace de Banach étant un espace vectoriel il ne peut pas être vide. Il contient toujours la boule unité (éventuellement réduite à {0}) et donc son intérieur n'est jamais vide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0fcad7a]

pour être un peu plus précis on peut dire:

l'espace tout entier est à la fois ouvert et fermé. L'espace de Banach est ouvert, donc il est égal à son intérieur. S'il est maigre il est alors vide; contradiction.