Domaine de définition d'une fonction définie par une intégrale

[inviteca4b9b9d]

Salut à tous!!! Mercii pour vos brillantes contributions sur mes dernières discussions.
En fait là je voudrais que quelqu'un m'aide sur une démarche à suivre pour déterminer le domaine de définition d'une fonction réelle définie par une intégrale .
Par exemple j'ai eu tant de problème pour trouver celui de g(t)= ∫(0à+∞) (1/(1+x^2)^t dx
Désolé pour l'écriture désordonnée et merci d'avance pour vos réponses à venir!!!

[breukin]

Il faut regarder ce qui se passe aux bornes et aux éventuels pôles.
Ici, pas de pôle.
En 0, pas de problème, la fonction tend vers 1 et vaut 1.
Reste l'infini. On regarde son comportement, ici son équivalent x^(-2t), dont on sait ce qu'il faut pour que l'intégrale soit convergente.

Là c'était simple, mais il peut y avoir des cas plus complexes, genre avec des pics de plus en plus haut mais de plus en plus étroits qui font que c'est quand même convergent. Il n'y a donc pas de démarche absolue.

[inviteca4b9b9d]

Merci pr votre réponse. Mais est ce que je peux dire qu'une fonction intégrale soit définie il faut qu'elle soit Riemann intégrable dans l'intervalle formé par ses bornes et si l'une des bornes est infini il faut en plus de ça qu'elle soit convergente???

[inviteca4b9b9d]

Si quelqu'un peut m'aider s'il vous plait , j'ai vraiment besoin de réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

On peut aussi avoir une fonction avec un pôle dont on peut définir l'intégrale sur un intervalle contenant ce pôle.
Dès qu'on se pose la question de la définition d'une intégrale généralisée (borne infinie, pôle...), il faut regarder l'intégrale définie avec une borne finie ou proche du pôle, et regarder son comportement quand la borne tend vers l'infini ou se rapproche du pôle.

Quand on dit qu'une intégrale est convergente, en fait c'est un abus de langage (tout à fait acceptable quand on comprend ce qu'on fait), ce qui est convergent, c'est une suite d'intégrales définies (on fait tendre la borne), qui permet de donner un sens, et une valeur, à celle généralisée.