bonjour,
soit l'ensemble des suites complexes de normefinie:
C'est un espace vectoriel.
Est-ce que tous les bases orthonormées possibles desont dénombrables ?
En effet la transformée de Fourier discrète (réciproque des séries de Fourier) donne une base dénombrable de l'espace de Hilbert des fonctions 1-périodiquesintégrables sur une période, mais réciproquement elle donne une base qui n'est pas orthonormée de l'ensemble des suites de normes
finie. En effet les vecteurs de base ont une norme
infinie :
oùa une norme
infinie. Cette base des
où
n'est pas dénombrable.
Maintenant je sais que la transformée de Haar (la plus simple des ondelettes) permet d'avoir une base orthonormée dénombrable pour:
on prend la suite,
on construit deux nouvelles suiteset
![]()
si on connaitet
on peut en déduire
puis récursivement, on remplacepar
et on refait le même raisonnement.
Ainsi si on écrit
où
est l'opérateur linéaire filtre passe haut
suivi d'un sous-échantillonnage de facteur 2)
où
est l'opérateur linéaire filtre passe bas
suivi d'un sous-échantillonnage de facteur 2)
on a la transformée de Haar :
et ce qui donne une base orthogonale de l'ensemble des suites, qu'on peut normaliser en ajoutant un facteuraux opérateurs
Merci !
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