corps fini F_{p^d}, le groupe multiplicatif est-il cyclique ???

[acx01b]

Bonjour,

Donc je regarde un peu les corps fini

Je construis le corps de la manière habituelle : est premier, je prends un polynôme irréductible de degré de l'anneau des polynômes à coefficients entiers modulo , et je fais le quotient de par ce qui me donne le groupe additif où c'est l'ensemble des polynômes de de degré . Donc .

Pour avoir le groupe multiplicatif je pose . Précédemment j'avais fixé le coefficient du terme de plus haut degré à :



Je pose . Si je prends un élément de et que je le multiplie avec tous les éléments de alors j'obtiens tous les éléments de :
En effet, si j'avais et alors



et puisque est irréductible (et que l'anneau est intègre) alors ou ce qui est faux. Donc l'image de la multiplication par des éléments de donne bien tous les éléments de dont .

CQFD on a bien un groupe multiplicatif , et est un corps noté

Maintenant ma question : quel est l'ordre multiplicatif des éléments de ?


Et notamment il y a-t-il un générateur et donc est-il un groupe cyclique ?


Le groupe multiplicatif a pour cardinal et l'ordre d'un élément divise .


Ainsi si est premier, par exemple on a bien un groupe cyclique puisque tous les éléments sont générateurs.

Dans les autres cas, j'ai juste essayé avec .

J'ai pris comme polynôme irréductible , et j'ai trouvé comme générateur c'est à dire que :




C'est un hasard ou on a toujours un groupe cyclique ???

Si vous avez la réponse merci de me donner plutôt un indice que le résultat directement !

Merci
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[acx01b]

Et toujours dans ,

Puisque on a également comme générateurs :

en plus de

[Seirios]

Bonjour,

Oui, c'est un résultat classique d'algèbre : le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.

[acx01b]

Et tu aurais un indice pour le montrer ?

Parce que pour le moment le seul point de vue que j'ai sur ce groupe multiplicatif commutatif et fini c'est des multiplications de polynômes, donc arriver à partir de ça au fait qu'il est cyclique, je ne sais pas, c'est évident, je loupe un truc ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

Bon j'ai craqué, j'ai regardé la démo donnée page 3 et 4 (théorème 6) de http://iml.univ-mrs.fr/~rodier/Cours...ps%20finis.pdf

Le groupe multiplicatif de c'est de cardinal

Soit un diviseur de . On considère le polynôme .

Ses racines forment un groupe (puisque ), et comme il y a au maximum racines, ce groupe a au maximum éléments.
Par ailleurs, on sélectionne les éléments de qui ont un ordre égal à .
Supposons qu'il y en a au moins un. Eh bien parmi les racines de , il y en a maximum qui ont pour ordre . Les autres ont un ordre plus petit et sont le carré ou une puissance d'un élément d'ordre .

c'est l'indicatrice d'Euler, le nombre d'entiers inférieurs et premiers avec .

Une relation importante : . On la montre avec la formule d'inversion de Moebius (qu'on montre avec la fonction zéta de Riemann...).

Et finalement, si on fait la somme sur les diviseurs de du nombre d'éléments de
tels que , on doit trouver exactement le nombre d'élément de soit :



sauf que si alors est racine de , et donc
, au final on trouve que
et en particulier .

CQFD : il y a donc des éléments d'ordre maximal qui sont des générateurs du groupe qui est donc cyclique !

Elle est classe cette démonstration quand même ! Et jamais je n'aurais pu la trouver tout seul c'est clair et net.