groupe multiplicatif fini

[invite524f82a6]

bonjour
soient G un groupe multiplicatif finie et (x) un element de G tel que x^2=1
avec 1: l'element neutre de G on s'interroge que ceci est vrai si et seulement si x=1
merci de pour vos réponses.
-----

[invite524f82a6]

bonjour
autrement dit x est d'ordre 2 ssi x=1
(meme notation)

[Médiat]

Bonjour,

Non, ne serait-ce que le groupe (Z/2Z, +) est un contre-exemple

[invite524f82a6]

bonjour
mais on parle ici d'un groupe multiplicatif est ce que cela change quelque chose ou bien ce n'est qu une notation

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Ce n'est qu'une notation (qui permet d'écrire que l'élément neutre est noté 1 et que la composition d'un élément avec lui-même est notée x²)

[invite524f82a6]

bonjour
merci beaucoup pour votre temps
note : je serais tres ravis si vous pouvez me donner un autre contre exemple merci

[Médiat]

(Z/4Z, +), etc.

Le groupe des rotations du plan. etc.

[invite524f82a6]

merci
note: c est quoi un groupe du rotation du plan

[Médiat]

Les rotations du plan de centre (0, 0) avec la composition comme loi, alors la rotation de 180 est d'ordre 2.

[inviteea028771]

Pour ajouter un peu à la réponse de médiat :

C'est l'ensemble des rotations de centre O du plan (en tant que transformations), muni de la composition des rotations. Avec des mots, on peut montrer qu'il s'agit bien d'un groupe :

- Si on fait une rotation puis une autre, le résultat est toujours une rotation : la composition des rotations est une loi interne
- La composition des rotations est associative : La rotation R1 puis (la rotation R2 puis la rotation R3) c'est la même chose que (la rotation R1 puis la rotation R2) puis la rotation R3
- Il y a un élément neutre : La rotation d'angle 0°
- Chaque rotation a un inverse : Il suffit de faire la rotation "dans l'autre sens", la rotation d'angle x° a pour inverse la rotation d'angle -x°


Ce que je trouve très intéressant dans ce groupe (tout comme le groupe des translations) d'un point de vue pédagogique, c'est qu'il est très concret, très physique : il existe en dehors de tout formalisme mathématique.

[invite14e03d2a]

Salut,

Par definition de l'ordre d'un element, l'element neutre de tout groupe est d'ordre 1. C'est d'ailleurs le seul element a avoir cette propriete.

Cordialement

[invite47ecce17]

Bonjour,
Au passage dans le groupe des racines 2n-iemes de l'unité, -1 est un contre exemple (c'est le meme en fait!).

[invite524f82a6]

merci pour votre temps et vos clarifications