Problème N.Bourbaki-Théorie des ensembles.

[invite267613f3]

Bonjour, bonsoir!
J'ai décidé de commencer à étudier les mathématiques en autodidacte, j'ai voulu le faire dans le cadre d'un ouvrage complet qui reprend les mathématiques depuis leurs fondements et donc après avoir bien cherché j'ai trouvé le traité qui correspond exactement à ce que je veux, c'est Eléménts de mathématiques de Nicolas Bourbaki.
Bien évidemment je viens de commencer par le premier livre du traité : la théorie des ensmebles et je suis toujours dans le premier chapitre "Description de la mathématique formelle".
Bon maintenant que je vous ai mis dans le cadre, voilà les problèmes que j'ai rencontré, j'espère trouver des réponses et merci d'avance!! :
Dans la partie Théorèmes/Axiomes : On affirme que les schémas d'une théorie sont des règles (le mot est vague la nature des règles n'est pas donnée) dont l'application produit une relation de plus si T est un terme, x une lettre et R une relation construite par le même schéma (T/x)R peut à son tour être construite par ce dernier. (Sans préciser comment). Jusqu'ici ça va .
Je passe au deuxième point de l'enchainement Thérèmes/Démonstrations : Parmi les conditions que dois vérifier une relation figurant dans une démonstration la condition " R résulte de l'application d'un schéma de la théorie à des termes ou relations figurant dans la construction formative auxiliaire."
Je passe au troisième point Théorèmes/Substitutions dans une théorie :
Quand on veut démontrer le deuxième critère déductif et là je cite " Si Rk est un axiome implicite de TO (T/x)Rk est encore un axiome implicite de To, et donc de (T/x)To" Jusque là ça va.
Mon problème est le suivant :
(T/x)Rk est un axiome implicite oui mais il doit être construit à partir d'un schéma en partant des relations et des termes de la construction formative selon le deuxième point, mais le premier point ne nous renseigne pas comment fait on la construction, (Part on toujours de termes ou de relations ou peut on avoir un schéma qui a comme objet de départ autre choses).

J'espère être bien compris, merci d'avance pour votre aide.
PS: J'ai déjà bien réflichit quant au choix de l'oeuvre. Je voulais étudier quelque chose de haut niveau et le plus rigoureux possible.
Je ne veux pas discuter ce choix (je le considère comme irrévérsible ^^).
C'est là que je me suis arrêté dans la lecture de l'ouvrage.
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[Médiat]

Bonjour,

(T/x)Rk est un axiome implicite oui mais il doit être construit à partir d'un schéma en partant des relations et des termes de la construction formative selon le deuxième point, mais le premier point ne nous renseigne pas comment fait on la construction, (Part on toujours de termes ou de relations ou peut on avoir un schéma qui a comme objet de départ autre choses).

Je suis loin d'être certain d'avoir compris votre problème, mais la construction de (T/x)Rk est décrite dans E.1.16 §1 et un Axiome est bien une relation.


Merci de m'avoir rappelé pourquoi, en 45 ans de pratique de la logique mathématique, je n'ai ouvert le Bourbaki qu'une seule fois (2 avec aujourd'hui)

[Seirios]

En général, il est dit que le Bourbaki de théorie des ensembles a plutôt mal vieilli, donc pas sûr que ce soit une si bonne idée de commencer par là...

[invite9dc7b526]

D'une manière générale le traité Bourbaki n'est pas fait pour les débutants. Le projet de Bourbaki était de fournir un texte de référence pour les enseignants, pas un cours.

et il n'y a pas de choix irréversible (surtout quand il est mauvais)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7849ae55]

Tout dépend des personnalités de chacun.
Personnellement je trouve insupportable un cours mal défini et sans clarté ; dans Bourbaki tout est toujours référencé, tout est défini et propre.
À part en logique, c'est une référence indiscutable ... Donc suivant l'état d'esprit ça peut être bon ou mauvais, et moi je trouve ça plutôt bon...

[invitebdf4d66d]

C'est un bon choix, je pense que tout matheux doit un jour étudier ce livre (connaissez vous un équivalent aussi précis et complet ?).

Je ne suis pas certain de comprendre ton problème non plus, les schémas ne sont pas des assemblages, ce sont juste des règles de construction.
Une fois que tu sais que tous les axiomes implicites se retrouvent dans la nouvelle théorie, tu as gagné et tu n'as pas besoin de regarder les schémas.

[invite267613f3]

@minushabens : J'ai déjà fini mes prépas et une année en école d'ingénieurs. Dans le mode d'emploi du traité est écrit :"1-Le traité prend les mathématiques à leur début, et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathématique et un certain pouvoir d'abstraction...." Je pense donc que je peux me permettre de l'étudier.
@Médiat e rien ^^. J'ai déjà compris comment obtient on (T/x)Rk à partir de Rk, je sais aussi qu'un axiome est une relation et je sais aussi que les schémas ne sont pas des assemblages : Ce sont des règles qui permettent de construire d'autres assemblages le comment n'est pas précisé.
Mon problème se situe dans la démonstration du C2 à E.1.23 §2/3 :" Si A est un théorème d'une théorie To, T un terme de To, x une lettre. Alors (t/x)A est un théorème de (T/x)To.". Donc on doit trouver un texte démonstratif comportant une construction formative et une démonstration contenant l'assemblage (T/x)A. On a trouvé la démonstration il reste à vérifier que c'en est vraiment une, chaque relation doit vérifier au moins l'une des conditions cité E.1.22 §2/2. Mon problème se situe au niveau de la condition a2).
Merci d'avoir pris la peine de me lire.
Désolé pour le dérangement.

[Médiat]

Mon problème se situe dans la démonstration du C2 à E.1.23 §2/3 :" Si A est un théorème d'une théorie To, T un terme de To, x une lettre. Alors (t/x)A est un théorème de (T/x)To.". Donc on doit trouver un texte démonstratif comportant une construction formative et une démonstration contenant l'assemblage (T/x)A. On a trouvé la démonstration il reste à vérifier que c'en est vraiment une, chaque relation doit vérifier au moins l'une des conditions cité E.1.22 §2/2. Mon problème se situe au niveau de la condition a2).

Quand on a remplacé toutes les occurrences de x par t dans une démonstration de A (on a placé (t/x) devant chaque assemblage), on obtient une démonstration de (t/x)A.

Pour la théorie des ensembles proprement dite, je ne saurais trop vous recommander le bouquin de Krivine (édition Cassini), il n'est pas impossible que je ne sois pas impartial du fait qu'il a été mon professeur, mais je me sers toujours de la première édition (1972) acheté à l'époque.

Désolé pour le dérangement.

Ne le soyez pas, c'est le but de ce forum que de répondre aux questions.

[invitebdf4d66d]

a2) "R résulte de l'application d'un schéma de F à des termes ou relations figurant dans la construction formative auxiliaire;"

Je me trompe peut-être mais j'ai bien l'impression que ce sont les schémas qui te posent problème,
les règles de construction étant les mêmes dans F ou (T|x)F, les schémas sont donc "identiques".

Tu peux regarder la note 1 de la page 25, peut être que ca t'aidera.

[invite267613f3]

@AnGLT C'est ça, tu as bien compris mon problème.
Je sais que c'est le même schéma qui sert à construire F et (T/x)F.
La note 1 fournit un schéma particulier, or là on est entrain de démontrer un résultat général, c'est à dire peut importe le schéma.
Je vais poser une question plus précise :
1- Un schéma permet de construire une relation : L'objet de départ de cette construction est il toujours des relations ou des termes ? Si oui dans quelle page ceci est mentionné ?

[invitebdf4d66d]

Ok, donc j'ai une bonne nouvelle, tu peux complètement oublier les schémas

C'est juste un moyen d'indiquer au lecteur comment construire des axiomes (une infinité) à partir d'une construction formative.
Une démonstration commence toujours par un axiome explicite (a1) ou implicite (a2).

[Médiat]

Pour enfoncer le clou, il faut se souvenir que dans une démonstration, seul un nombre fini d'instance d'un schéma ne peut intervenir, et donc que l'on aurait pu faire la même démonstration en remplaçant le schéma par la liste (finie) des instances utiles, et hop : plus de schéma.