Théorie des ensembles

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous.
J'ai une question à vous poser:
Soit AdB signifie différence symétrique de A et B (d représente le delta)
Voici l'énoncé:
Soit E un ensemble
f:E->E'
Pour tout A et B appartenant à l'ensemble des partie de E,
f(AdB)=f(A) d f(B)
Soit (x,y) appartenant à E² tel que f(x)=f(y).
Si x différent de y, alors:
f({x)d{y})=f({x;y})={f(x)} différent de l'ensemble vide
f({x}) d f({y}) = {f(x)} d {f(y)} = ensemble vide
Contradiction donc x=y
danc f est injective.

Je ne comprends aucune de ces égalités et inégalité (à part l'hypothèse de départ ^^):

Si x différent de y, alors:
f({x)d{y})=f({x;y})={f(x)} différent de l'ensemble vide
f({x}) d f({y}) = {f(x)} d {f(y)} = ensemble vide

Pourriez vous m'aider svp ???

Merci beaucoup d'avance.

PS: Je vais rentre en MPSI donc il se peut que ma question soit un peu "bizare" à vos yeux donc excusez moi d'avance ^^
-----

[inviteea028771]

Déjà ta fonction f n'est pas de E dans E, mais de P(E) dans P(E)

Soit (x,y) appartenant à E² tel que f({x}) = f({y}) (et non pas f(x) = f(y) )

Si alors

En effet,

Donc

Mais on a aussi

Or comme par hypothèse , et que pour tout ensemble Z on a

Alors on a

On en déduit donc qu'il n'existe pas de couple (x,y) avec x différent de y tel que f({x}) = f({y}), la fonction f est donc injective

[inviteda3529a9]

merci de cette réponse dataillée.
Je ne fais que recopier le corrigé de mon livre.
Cependant, pourriez vous expliquer les égalités sivantes car je ne les comprends pas du tout:

f({x)d{y})=f({x;y})={f(x)} différent de l'ensemble vide

f({x}) d f({y}) = {f(x)} d {f(y)} = ensemble vide

Or, f({x)d{y})=f({x}) d f({y}) donc nous avons une contradiction.
Donc x=y
donc f est injective.

[inviteda3529a9]

encore 2 questions:
Que représente {x} ou {y} ?

Si l'on suit votre raisonnemet:
si f({x})=f({y}), alors x différent de y
Comment pouvez vous conclure que f est injective ???
Il faudrait x = y et non x différent de y
???

Merci beaucoup d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

Déjà ta fonction f n'est pas de E dans E, mais de P(E) dans P(E)

pas forcément, pour f:E->E et A partie de E on définit f(A)={f(x)|x élément de A}

[inviteea028771]

pas forcément, pour f:E->E et A partie de E on définit f(A)={f(x)|x élément de A}

En 2007, Will Smith à joué dans "Je suis une légende"
En 2011, Tryss joue dans "Je suis un boulet"

encore 2 questions:
Que représente {x} ou {y} ?

Si l'on suit votre raisonnemet:
si f({x})=f({y}), alors x différent de y
Comment pouvez vous conclure que f est injective ???
Il faudrait x = y et non x différent de y
???

Merci beaucoup d'avance

1) {x} représente l'ensemble contenant uniquement l'élément x

2) ce n'est pas mon raisonnement.

Mon raisonnement c'est :
Soit (x,y) tel que f(x) = f(y)

Alors on a deux possibilités :
- x=y (toujours vrai)
- x différent de y

On va alors montrer que si x différent de y on arrive a une contradiction.

On calcule et et on montre qu'ils sont différents.

Or par définition de f , et sont égaux

Ainsi si x différent de y et f(x) = f(y), on aboutit à une contradiction. Donc si x différent de y alors f(x) différent de f(y), ou, de façon équivalente, si f(x) = f(y) alors x=y.



Maintenant, pourquoi et sont différents?

On s’intéresse d'abord à :

(c'est une des définitions de la différence symétrique)
(car x différent de y)


Donc

Puis, comme f(x) = f(y),

Comme f est à valeur dans E,

Ainsi



Maintenant, intéressons nous à :


(car f(y) = f(x))
(car )

Donc