Anneau régulier

[invitea6816ba4]

Salut,
On dit qu'un anneau A est régulier si, pour tout a de A, il existe k de A tel que aka=a.
Montrer que le centre d'un anneau régulier est régulier.
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[invite371ae0af]

qu'appelles tu centre d'un anneau?

[invitea6816ba4]

les élements de l'anneau commutant avec tous les élements de l'année

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
es tu sur de ce que tu racontes?
Je n'ai pas essayé longtemps mais ça me semble délicat à montrer. Si tout élément du centre possède un inverse à gauche ou à droite c'est vrai. Sans ça je ne sais pas trop comment procéder de façon élémentaire, mais comme je t'ai dit je n'ai pas essayé longtemps.

Le problème est que pour tout c de C(A) tu as qu'il existe k tel que ckc=c.

Tu veux montrer que k est dans C(A) pour avoir un sous anneau. On prend donc un a de A et on essaie de montrer que
ka=ak

Malheureusement les seules infos que l'on aient font intervenir c et à la fin ou doit pouvoir s'en débarasser. Mais voilà... comment s'en débarasser une fois que tu les fais intervenir? On n'arrive pas à annuler c, le mieux qu'on puisse faire c'est diviser par 2 le nombre de c qui intervient dans l'écriture d'un mot en a,k,c.

Mais comme je le dis, c'est un essai de quelques minutes sur une feuille de papier.
Manque t'il des hypothèses?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

C'est vrai, j'ai fait des recherches sur le net et ce théorème apparait. Par contre je n'ai pas trouvé la démonstration.

On le retrouve énoncé ici (page 240) :
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BS...101__237_0.pdf

Ou encore ici (Proposition 2.6 page 22)
http://www.sist.sn/gsdl/collect/butr...r/THS-6843.pdf

Ce dernier lien donne une référence :
Page 138 de G. RENAULT, Algèbre non commutative, Gauthier - Villars
Editeur, Paris (1975).

La démo est peut-être triviale, mais j'avoue ne pas avoir trouvé par quel bout entamer l'affaire (et puis, je suis affreusement mauvais pour trouver les astuces des démo d'algèbre )

[inviteab2b41c6]

Il faut peut être des théorèmes plus profonds, je m'attendais à une démo triviale que je n'ai pas trouvée. Je suis un peu soulagé de ne pas être le seul à ne pas avoir trouvé :P

[invite9617f995]

Bonjour, il me semble que cette démonstration fonctionne :

Je note C(A) le centre de A. Soit .
Il existe tel que a=aka, d'où a=ka²=a²k car a est central.
Posons m=kak. On a par associativité : ama=akaka=aka=a. Montrons que m est central.

Pour cela, on montrera d'abord que ak=ka est central : soit quelconque.
On a ab=ba d'où a²kb=ba²k=a²bk d'où en composant par k :
ka²kb=ka²bk soit akb=abk=bak.
On a donc bien ak commutant avec tout b dans A d'où ak dans le centre de A.

Montrons alors que m=kak est central : soit quelconque.
On a par centralité de a et ak : mb=kakb=kbak=kabk=akbk=bak²=bk ak=bm.
On a bien m central, ce qui achève la démonstration.

Silk

[invitea6816ba4]

Je ne vois pas en quoi le fait de montrer que m est central montre que k est central ce qui est le but même de l'exercice

[Elie520]

Je n'ai pas lu toute la démo de silk, mais en réaction au dernier commentaire : il suffit de trouver un élément m de C(A) tq ama=a; ce qui a été fait. D'où la démonstration.

[invitea6816ba4]

Oui c'est vrai j'avais mal suivi la démonstration croyant que la conclusion portait sur k