Distances dans un cercle et Densité de Probabilité

[invite71261707]

Bonjour,

Je chercher à déterminer la densité de probabilité de la distance entre 2 points pris au hasard dans un cercle.
Je trouve un résultat, seulement ce n'est pas cohérent car ma densité diverge.

Pourriez vous jeter un coup d'oeil, me dire si vous trouvez une erreur ?

Précisions :
Je n'ai pas normalisé la densité
Je considère n largement supérieur à 1

Merci !

PS : j'ai posté une question similaire sur le forum de physique "pendule et densité de probabilité" pour laquelle j'ai aussi des problèmes ! Et les physiciens semblent sans voix…
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[gg0]

Bonjour.

Si j'ai bien compris, tu utilises une probabilité uniforme pour la position des points sur le cercle, tu fixes la premier point A (la proba ne change pas par rotation) et tu calcules la densité de probabilité de la distance AB en passant par la fonction de répartition. Tu as aussi utilisé seulement un demi cercle en utilisant la symétrie par le diamètre passant par A (d'où ton utilisation de pi et pas 2pi). Ensuite, l'angle thêta est l'angle AOB où O est le centre du cercle, et cet angle a pour loi la loi uniforme sur [0;pi] de densité 1/pi.

La distance D=AB varie de 0 à 2R (rayon du cercle), et vaut

Il est possible d'en déduire directement la densité de D, mais passons par la fonction de répartition :

Et thêta est une fonction croissante de D. Pour t compris entre 0 et 2R :


Voilà, la fonction de répartition varie bien de 0 à 1 (elle vaut aussi 1 pour t>2R, et bien entendu 0 pour t<0). Je te laisse continuer ...

Cordialement.

NB : Tu t'es compliqué la vie avec tes n intervalles.

[invite71261707]

Merci pour la réponse,
Exactement j'utilise une densité de proba uniforme pour la position des points (par les angles ou la positon sur le périmètre, ça reviens au même).
Par contre je n'utilise pas qu'une moitié du cercle, le cercle est décrit au complet de 0 à pi par l'équation polaire donnée. Et O n'est pas le centre du cercle, voir le schéma svp. (bon après c'est équivalent).

J'avoue que le découpage était superflu, je trouvais surement plus rassurant le passage du discret au continu, mais complètement inutile

Bon il n'empêche que cette fonction de répartition à exactement le même problème que la mienne… il faut la dériver et ça diverge. Que fait-on ?

[gg0]

Bon,

pas d'inquiétude, on prend f(t)=0 pour t<= 0 et f(t)=0 pour t>=2R, pour avoir une densité définie pour tout t. La limite infinie en 2R à gauche ne pose aucun problème, puisque les intégrales qui pourraient avoir à en tenir compte seront convergentes.

Cordialement.

NB : J'ai repris l'ensemble du calcul, puisque le tien ne me paraissait pas très expliqué. sans parler du n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite71261707]

Ha ! La dernière phrase à levé le voile.
En fait j'étais perturbé par la limite infinie, mais en fait ça ne pose aucun problème.
Mais n'est ce pas tout de même un peu déroutant ? Comment concilier ce résultat avec l'intuition ?

[gg0]

Tu sais,

l'intuition est ce qui reste quand on est bien habitué. Et ce genre de situation très éloignée du réel courant n'a rien de surprenant dans les probabilités continues, qui sont elles-même, par nature, éloignées du réel courant.

Cordialement.

[acx01b]

salut, je vais essayer d'expliquer comment je le pense.

oui ce n'est "immédiatement intuitif" que ta densité de proba diverge pour mais, quoique.
tu n'as qu'à dessiner un cercle trigo (de rayon 1), et voir que la longueur de la corde vaut presque (c'est presque un diamètre) et ne varie presque pas quand la longueur de l'arc vaut à peu près . c'est à dire que la dérivée (par rapport à l'arc) du rapport "corde/arc" vaut 0 quand l'arc vaut .
il y a beaucoup de longueurs d'arcs pour lesquels la corde vaut presque .

ainsi, si la longueur de l'arc suit une distribution de proba uniforme, on a "beaucoup plus de chance" d'avoir une longueur de corde de que par exemple.
et quand tu intègres ta densité de proba tu as ta fonction de répartition qui est tout à fait régulière, sur l'intervalle , en sa dérivée tend vers

[invite71261707]

Merci pour vos réponses pertinentes.

Je fais une analogie avec une densité de matière, imaginons un échantillon de la matière (continue) dont la densité serait infinie en un point.
Je m'interroge sur la signification physique qu'aurait une telle densité, même si la quantité totale est finie.
(ici, je pense, la question change d'ordre en s'appliquant à un système physique)
Qu'en pensez vous ?

[gg0]

Toutes les situations mathématiques n'ont pas obligatoirement une traduction physique. C'est à cause de cette illusion que certains "bloquent" sur certaines notions.
D'ailleurs "la matière (continue)" a-t-elle une signification physique ? n'est- ce pas une idéalisation mathématique ?

Cordialement.

[invite71261707]

C'est vrai, heureusement que la MQ nous rend tout discontinu… C'est le continu qui est contre-nature finalement, en dépit de l'intuition corrompue par les apparences de notre échelle d'existence.
Voila qui donne à dire…

Merci donc d'avoir levé ma confusion.
Je me permets de vous soumettre celui que les physiciens ne semblent pas vouloir (pouvoir) résoudre :
Je cherche à déterminer cette fois ci la densité de probabilité de l'angle que forme un pendule oscillant avec la verticale.
Sachant que θ=θ₀.cos(ωt)
À l'intérieur d'une période T, la probabilité de trouver un θ qui correspond à un certain t donné est t/T.
Donc la probabilité de trouver l'angle inférieur à un certain θ est (1/Tω).arccos(θ/θ₀)

Maintenant vient le grand moment de la dérivation. Et surprise: ça diverge en θ₀... mais (non pas que je ne puisse encore faire le deuil des divergences) pas en 0 ! Ce qui n'est pas cohérent avec la symétrie du système.

Qu'en pensez vous ?

[gg0]

Bonsoir.

Suis-je fondé à penser que θ₀ est l'angle d'éloignement maximal avec la verticale ? Alors, il y a aussi divergence pour -θ₀, si 0 donne la verticale.
Comme je ne sais pas quelle modélisation tu as utilisée, je ne rentree pas dans les détails, mais physiquement, dire que les angles entre -θ₀ et θ₀ sont équiprobables me semble peu crédible, vu que la vitesse s'annule en ces valeurs et est maximale au voisinage de 0.

Cordialement.

[acx01b]

Après Horlem je suppose que tu n'as jamais vu la distribution de Dirac . C'est un moyen de penser les distributions de proba discrètes, c'est à dire des distributions de proba où la probabilité que n'est pas nulle pour certains : ce n'est pas le cas pour ta distribution où c'est la probabilité que qui n'est pas nulle. Et dans ton cas, ta densité de proba tend vers mais est quand même "plus petite" qu'un Dirac. Si est ta densité, alors ce qui ne serait pas le cas si était un Dirac.

Avec ton "analogie" physique, ça pousse à dire qu'il y a infinis et infinis, plus ou moins grands..

[invite71261707]

J'ai fait ça un peu vite, en effet la densité n'a absolument pas a diverger en 0, bien vu gg0.
Par contre je n'ai jamais dit que l'angle suivait une densité homogène (le temps oui) voir le résultat.
Donc niveau divergence c'est réglé, mais il y a un deuxième hic : la dérivée de arccos est négative. Dois-je encore me résoudre à faire l'impasse sur ce genre de détail contre-intuitif lorsque une pirouette mathématique est possible ? Comme une constante de normalisation négative ? Valeur absolue ??

Merci pour tes précisions acx01b. C'est vrai que le dirac est plus "réel" en un sens. Comme quoi le continu est une illusion inconfortable parfois, non ?

[acx01b]

la dérivée de ta fonction de répartition ne peut pas être négative, une fonction de répartition est croissante et va de 0 à 1 c'est toujours comme ça. c'est juste que tu t'es planté quelque part, probabilité que ou probabilité que on se plante facilement d'un moins quelque part.

au fait ton pendule c'est plutôt un système masse ressort idéal (qu'on sait résoudre analytiquement) parce que l'équation du pendule on ne sait pas la résoudre analytiquement, et on fait l'approximation dans l'équa diff (donc en supposant très petit) pour avoir une solution approchée.

après pour discuter de "est-ce que la solution approchée est proche de la solution exacte" c'est une histoire de théorie des perturbations c'est je crois très compliqué. moi la seule que je sais dire c'est que comme la solution approchée, la solution exacte est périodique.

[gg0]

Horlem,

si tu ne trouves pas ton erreur, il faudra que tu nous présentes tes calculs, modélisation comprise. Ce qui m'évitera de comprendre de travers ...

Cordialement.

[invite71261707]

On pourrait faire le calcul pour un ressort à la place, mais bon l'approximation sinus étant très bonne je suppose que la solution qu'elle donne l'est aussi dans les mêmes conditions, d'autant plus si l'on se limite à la première période.

Voici en pièce jointe l'explication.
On se limite donc à la première période d'oscillation, durant la quelle on observe l'angle au bout d'un temps aléatoire.

Donc j'imagine que le problème est là ou le arccos apparait. Voyez vous une erreur ?

[invite8241b23e]

J'ai validé la pièce jointe, mais pense la prochaine fois à la mettre dans le bon sens...

[invite9dc7b526]

Je ne vois pas bien en quoi une densité de masse non bornée pose un problème en Physique. De toutes façons une densité intervient seulement par son intégrale sur un ensemble de mesure non nulle. C'est d'ailleurs une fonction qui est définie "presque partout" c'est-à-dire qu'on peut la modifier de façon arbitraire sur un ensemble de mesure nulle, sans changer la distribution sous-jacente.

[acx01b]

minushabens : oui mais juste pour dire que tu pourrais remplacer "mesure non nulle" par "intervalle de largeur non nulle" pour être plus largement compris. et en physique le dirac dans une distribution a également un sens. certaines distributions (même si c'est rare) peuvent être à la fois discrètes et continues, c'est à dire la somme d'une distribution discrète et d'une distrib continue, et dans ce cas les dirac prennent tout leur sens.

On pourrait faire le calcul pour un ressort à la place, mais bon l'approximation sinus étant très bonne je suppose que la solution qu'elle donne l'est aussi dans les mêmes conditions, d'autant plus si l'on se limite à la première période.

bof, pour un pendule qui a une amplitude d'oscillation très petite oui (). mais sinon comment tu justifies que c'est une bonne approximation, et même que ta période d'oscillation est bonne ?

[gg0]

je viens de relire le document (message #16) et il y a une erreur manifeste : la fonction de répartition ne peut pas être ça, puisque arccos est décroissant.
Mais comme il n'y a pas le passage de calcul aboutissant à cela, je ne peux pas dire ce qui a été fait faussement. Y a-t-il même eu calcul ?

Cordialement.

[invite71261707]

Le passage de calcul ? Je l'ai fait en une étape, comme tu l'as fait dans ton premier message gg0… Sans commentaire.

bof, pour un pendule qui a une amplitude d'oscillation très petite oui ()

C'est bien ce que suppose l'approximation sinus, si ce n'est pas le cas on ne l'applique pas, quel est le problème ?

En vient-on à ce moment ou l'on se disperse pour éviter d'avoir à répondre ?

[gg0]

Je l'ai fait en une étape, comme tu l'as fait dans ton premier message gg0….

Sauf que dans mon premier message, j'ai donné la règle que j'utilisais ("Et thêta est une fonction croissante de D"). Toi, tu as imité ce que j'avais fait, sans manifestement l'avoir compris ... dommage !

Bon, si tu veux vraiment traiter cette question, fais le travail sérieusement.

Sans commentaire

???

[invite71261707]

Quelle ironie… Tu répétais exactement ce que j'avais écris dans mon énoncé sans même apporter d'info supplémentaire, ni visiblement prendre en compte ma pièce jointe (après on demande le détail des calculs...), et quand j'en fait la citation on m'accuse "d'imitation".
C'est bien de demander aux autres de faire les calculs, encore faut-il montrer qu'on y porte un minimum d'attention.

Observez ce fait surprenant sur les forums : je pose une simple question, et tout ce que les gens s'emploient à faire c'est éviter le plus possible d'y répondre, à grand renfort de chipotages sur quelque point élémentaire de physique ou d'exigences déplacées.

Et le tout dans la courtoisie la plus étriquée, surtout.
On se demande pourquoi les gens passent tant de temps à répondre aux posts s'ils n'ont pas la décence de converser avec autrui de manière un minimum constructive.

Je me rappelle maintenant pourquoi je n'allais plus sur les forums. Merci pour la piqure de rappel.
Au revoir tout le monde.

[gg0]

Pas étonnant,

avec ce genre de comportement, de n'avoir aucune réponse.

Adieu !

[acx01b]

tu as pété un câble là ? t'as pas l'impression qu'on a passé du temps à s'occuper de toi et de tes questions ?
tu sais qu'avec nos diplômes normalement c'est minimum 40euros de l'heure alors t'as un peu craqué non

[gg0]

Bof !

N'importe comment, j'ai l'impression qu'il n'est pas capable de faire seul un calcul correct. Le fait de recopier un calcul dans des circonstances où les conditions ont changé sans s'apercevoir que ce n'est plus correct montre bien qu'il n'avait pas vraiment pensé ce qu'il a écrit au premier message. C'était juste malgré lui.

Cordialement.

[invite8241b23e]

Bon vent, je crois que tu n'étais pas fait pour ce forum, effectivement !