Intégration sur un angle d'une exponentielle dépendant d'un cosinus

[inviteeda99536]

Bonjour,

j'ai essayé d'être précis tout en étant concis dans le titre, mais bon c'est pas évident. Bref, voilà l'intégrale :


Le paramètre a est réel et b est réel positif. S'il n'y avait pas le cosinus au carré, ce serait une fonction de Bessel. Un changement de variable ne semble pas être très efficace non plus. Peut-être un développement en série de l'exponentielle ? Une idée ? Croyez-vous qu'il existe une forme analytique de la solution ?

Merci d'avance !
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[albanxiii]

Bonjour,

Et en factorisant ?
Avec des notations simplifiées : .

@+

[inviteeda99536]

J'ai essayé la factorisation, mais je ne vois pas trop ce qui pourrait m'aider après...

En fait, j'ai trouvé une solution (si les hyps sont bonnes), mais c'est pas très esthétique. J'ai développé en série l'exponentielle, puis utilisé la formule du binome de Newton. En inversant les sommes et l'intégrale, je peux arriver à ne devoir intégrer que , avec et l entier. l'intégrale me donne un résultat avec des fonctions gamma de Euler et en faisant la somme du binome de newton j'obtient une série hypergéométrique.Voilà ma solution :



Après, pour faire la somme sur n, bonne chance...

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :
Sans allez loin sur la question ,est ce que cette intégrale est convergent avant le calcule lui même ?

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Topmath,

pourquoi parler de convergence dans le cas d'une fonction continue sur R qu'on intègre sur un fermé ?

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

Topmath,

pourquoi parler de convergence dans le cas d'une fonction continue sur R qu'on intègre sur un fermé ?

J'ai pensée à l'utilisation du théorème des Résidus (puisque la partie imaginaire i faisant partie de la fonction à intégrée ).

Cordialement

[invite93e0873f]

Bonjour,

Franchement, je ne sais pas si ça peut servir, je ne vois plus comment avancer dans cette direction, mais qui sait...

En notant la fonction , nous voyons que F est solution à l'équation de la chaleur . Ainsi, F se récrit

.

Par ailleurs, il est simple de voir que , de sorte que

.

Cette expression rend assez clair diverses propriétés qualitatives de F ; ne serait-ce qu'en vertu du principe du maximum, pour b>0, décroît en fonction de b et est inférieur à . Il est peut-être plus simple d'effectuer une intégrale de contour avec cette expression, je ne comprends pas assez bien les fonctions de Bessel pour avoir une idée sur le sujet...

[inviteeda99536]

Bien vu pour la définition de F ! je vais voir ce qu'il y a moyen de faire avec ça.

[inviteeda99536]

J'ai développé ta fonction de Bessel en série et inversé l'ordre de la somme et de l'intégrale, j'obtiens :



Numériquement, ça correspond bien à l'intégrale, et à la solution que j'ai montrée dans mon poste précédent (où j'ai fais une faute ; ce n'est pas 16 mais 4). Mais bon c'est toujours pas très joli, il y a sans doute une solution plus élégante, avec les propriétés de la fonction de Bessel, comme tu dis ! (merci pour ta réponse!).

[invite93e0873f]

Je ne pense pas que le théorème des résidus soit utile pour l'intégrale que j'ai donnée : l'intégrande est une fonction holomorphe sur tout le plan complexe, donc sans résidu. Ainsi, toute intégrale de contour vaut 0 et je vois difficilement comment intégrer sur une déformation de la droite réelle peut être plus simple...