Démonstration angle-cosinus

[invitebbd6c0f9]

Bonjour tout le monde!

Je rédigeais une démonstration qui traîtait l'équivalence entre le produit scalaire positif et l'angle en question aigu, quand je suis arrivé sur l'interrogation que je n'arrive pas à résoudre, qui est la suivante :

Y a-t-il un moyen concret, algébrique pour démontrer qu'un angle est aigu ssi le cosinus de cet angle est positif?

Bien sûr je le vois sur le cercle, cela est tout à fait clair, mais je me demandais peut-être via une idendité (-> laquelle?) s'il y avait un procédé pour trouver cette équivalence.

Merci d'avance pour toutes vos réponses!

Cordialement =D
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[invite2c46a2cb]

Bonsoir !

J'aimerais juste rectifier quelque chose qui me semble faux dans cette phrase, peut être que quelqu’un pourra le confirmer:

un angle est aigu ssi le cosinus de cet angle est positif.

Pour moi, cette phrase n'est vraie que dans un sens. Le cosinus d'un angle est positif si cet angle est aigu. Mais un angle ayant un cosinus positif n'est pas forcément aigu !
On parle d'angle aigu lorsqu'il mesure entre et . Or, si on prend un angle qui a pour mesure par exemple, il n'est pas aigu, mais il a bien un cosinus positif (égal à ).
.. A moins que tu considères qu'un angle ayant une mesure comprise entre et reste aigu, car il a aussi une mesure comprise entre et .. Et dans ce cas là tout ce que je viens de dire est erroné.

A part ça, je pense qu'il serait intéressant de se ramener à la définition du cosinus dans un triangle rectangle: A savoir (côté adjacent) / (hypothénuse). Or, dans un triangle rectangle, aucun angle n'a une mesure supérieure à 90°, et tous sont compris entre 0 et 90° et sont donc aigus (Somme des angles d'un triangle égale à 180°, moins le 90° de l'angle droit). De plus, dans un triangle rectangle toujours, le cosinus de n'importe quel angle est toujours positif, puisqu'il n'est qu'un quotient de deux longueurs.. positives. A partir de là, on pourrait en déduire que le cosinus d'un angle aigu est positif. Pour la réciproque, je sèche !
Après oui, c'est tellement évident quand on regarde le cercle trigonométrique que ça semble difficile de le prouver autrement..

Donc voilà, je pense que d'autres personnes plus expérimentées t'apporteront une "démonstration" plus pertinente (Du moins je l'espère !)

En attendant, passe une bonne soirée.

[gg0]

Bonjour The_Anonymous.

A priori, comme c'est le cercle trigonométrique qui sert de définition au cosinus (à ton niveau), il n'y a pas d’autre moyen. Il faut bien préciser qu'il s'agit d'angle géométrique (*), donc on se ramène à la valeur principale (entre -pi et +pi) et on passe en valeur absolue.Donc on n'a à considérer que les deux premiers quadrants.

Cordialement.

(*) "aigu" ne veut rien dire pour un angle orienté.

[invitebbd6c0f9]

Bonjour Teddy-mension et gg0 et merci de vos réponses!

Tout d'abord, je voulais m'excuser pour ne pas avoir répondu plus tôt!

Plutôt en réponse au message de Teddy-mension :

.. A moins que tu considères qu'un angle ayant une mesure comprise entre et reste aigu, car il a aussi une mesure comprise entre et ..

C'est exactement ça! En effet, je considère plutôt l'ensemble : ainsi, je pense que l'énoncé est correcte.


Merci beaucoup pour le sens de la démonstration, très bonne idée

Je vous remercie grandement pour votre réponse très pertinente

Plutôt en réponse en message de gg0 :

En effet nous avons vu le cosinus d'un angle sur les triangles et sur le cercle (à quand l'identité d'Euler? ^^).

Et oui, je ne me souviens plus très bien du sujet des angles orientés etc... Mais il me semble qu'il fallait faire gaffe, je complèterai donc par préciser que ce sont des angles géométriques

Merci beaucoup aussi pour votre idée des graphiques, elle est très claire aussi !

Je vous remercie énormément tous les deux pour vos idées !

À bientôt sûrement

Brazeor

[A voir en vidéo sur Futura]