Loi d'inertie de Sylvester.

[Lucien-O.]

Bonjour à tous,

Je me penche actuellement sur "la classification des formes hermitiennes" (titre du paragraphe du cours que je suis) et j'ai quelques difficultés à comprendre la démonstration de la loi dite "loi d'inertie de Sylvester" .

Je vous propose de poster la première partie de la démonstration et de vous poser ma question au moment où je cale. Ce ne sera pas facile à lire, ni à taper et je remercie déjà les courageux qui liront jusqu'au bout!

Du coté des notations, on a : représente le nombre de valeurs propres strictement positives associées à la matrice hermitienne .
On note la matrice adjointe.

Loi d'inertie de Sylvester : Si deux matrices hermitiennes et sont congruentes alors elles ont même inertie ( i.e le triplet ).

Preuve :

Si congruente à alors non singulière tq
Dans un premier temps on considère non singulière (donc, par composition de matrices non singulières, l'est également).
Les colonnes de étant linéairement indépendantes, on procède à son orthonormalisation (Gram-Schmidt) ce qui revient à faire où est unitaire et triangulaire supérieure à éléments diagonaux . (L'algorithme de Gram-Schmidt sous sa forme matricielle était démontré précédemment.)

Construisons maintenant : .
Et observons que est non singulière pour avant de considérer .


Comme est unitaire, on obtient que est semblable à et a donc la même inertie que . Comme n'est jamais singulière pour entre 0 et 1, il en va de même pour et ses valeurs propres ne peuvent donc pas passer par zéro pour entre 0 et 1.

Evidemment, le déterminant de ne sera jamais nul mais, ici, maintenant, je cale!

Le nombre de valeurs propres positives et le nombre de valeurs propres négatives restent donc inchangés .

Je vois où . Donc je peux conclure que le produit des valeurs propres de qui est aussi fonction de garde un signe constant... Mais je n'arrive pas à voir que le nombre de vp positives (ou négatives) reste inchangé! si une positive devient négative quand deux négatives deviennent positives ça fonctionne toujours! Ou alors il faudrait que je perçoive que l'expression d'une valeur propre de en fonction de t dans ce cas-ci est une fonction continue, alors, comme ça ne passe pas par zéro, le signe de la valeur propre sera conservé. Mais je ne perçois pas...

Voilà, si quelqu'un peut m'aiguiller.

Bonne soirée!
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[Lucien-O.]

Sinon, j'avais pensé à faire une récurrence : si on a 1 valeur propre, alors elle conserve forcément son signe, donc le nombre de vp positives (ou négatives) est conservé; si on suppose maintenant que c'est vrai pour n valeurs propres, alors c'est vrai pour n+1 puisque n parmi les n+1 conservent leur signe donc la dernière vp doit conserver son signe sans quoi le déterminant changerait de signe. Mais ça ne me semblait pas correct...

Ps : en plus, ci dessus, je dis des bêtises : "si une positive devient négative quand deux négatives deviennent positives ça fonctionne toujours!" il suffit de prendre le contre exemple de 3 vp positives... bref, je suis pas à l'aise avec cette affirmation.

[Universus]

Parmi les valeurs propres de , disons que sont strictement positives et (par non-singularité) sont strictement négatives. Les valeurs propres de B(t) sont des fonctions continues de t, que nous savons jamais nulles par non-singularité de toutes les matrices B(t) ; le théorème de la valeur intermédiaire implique donc que les valeurs propres positives de chaque B(t) sont celles obtenues depuis les valeurs positives de B(1) et sont donc au nombre de m. Idem pour les valeurs négatives. Cela conclut.

[Lucien-O.]

Super, merci Universus, la continuité des valeurs propres de sur [0,1] était en effet l'explication qui me semblait la plus plausible et je suis content qu'elle se confirme mais, toutefois, comment montrer cette continuité des vp ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bonjour,

Je n'ai pas les détails, mais cela revient à scruter comment on diagonalise une matrice hermitienne et à voir que cette procédure est continue en fonction de la matrice à diagonaliser. Sinon, il s'agit aussi des zéros du polynôme caractéristique de la matrice ; il est clair que ce polynôme varie continûment avec la matrice et il reste à voir que les zéros sont des fonctions continues du polynômes. Dans les faits, il faut avoir une notion de topologie sur l'espace des polynômes pour mener à bien cette dernière ligne de pensée et, à bien des égards, la topologie naturelle est telle que la continuité des zéros est presque tautologique...

[Lucien-O.]

Je n'ai pas encore le niveau suffisant pour me figurer tout ce que m'évoque votre message, mais, pour faire court (et bien que j'ai hâte d'aller plus en profondeur), je peux simplement me reposer sur la continuité du polynôme caractéristique n'est-ce pas?

Un tout grand merci

[Universus]

J'imagine que vous savez que les valeurs propres d'une matrice correspondent aux zéros de son polynômes caractéristiques. Ce polynôme varie continûment avec la matrice, c'est-à-dire qu'en variant continûment les coefficients de la matrice, on change continûment le coefficient dans chaque monôme du polynôme. Si le polynôme est de degré 1, bref si P(x) = ax+b, on sait que son (unique) zéro est , valeur variant continûment avec a et b. Si le polynôme est de degré 2, bref si , on sait qu'il y a deux zéros, et ; ces zéros changent encore continûment avec a, b et c. Ces deux cas rendent plausible l'idée qu'un polynôme détermine ses valeurs propres de manière continue. Évidemment, sachant que les expressions pour les polynômes de degré 3, 4 ou 5 sont bien plus complexes et que des expressions « encore plus complexes » pour les degrés plus élevés doivent exister en raison des travaux de Galois et d'Abel, une preuve générale de cette idée ne peut probablement consister à regarder des expressions explicites des valeurs propres comme fonctions des coefficients d'un polynôme. Il me semble cependant que la théorie entourant la décomposition de Weierstrass permet une preuve générale (nous utilisons ceci en géométrie complexe afin de montrer que les (sous-)variétés analytiques d'une variété complexe dépendent essentiellement continûment des « fonctions locales » servant à les définir ).

Dans tous les cas, je pense avoir donné de bons indices pour accepter que les valeurs propres étaient des fonctions continues du paramètre t !

[Lucien-O.]

J'accepte bcp mieux ladite continuité et je conserve soigneusement votre réponse bien fournie (ça ouvre des horizons). Bonne soirée!