Bijection IR^{N(N-1)/2} <---> ensemble des matrices unitaires de taille N

[acx01b]

Bonjour,

Mon post précédent sur la même question n'était pas terrible. Je vais essayer de reformuler mon problème.

J'ai l'impression qu'avec la diagonalisation des matrices Hermitiennes et devrait pouvoir obtenir une bijection entre l'ensemble des matrices unitaires (matrices orthonormales à coefficients complexes) et



est Hermitienne et de rang plein, , est une matrice unitaire.

Si une matrice à coefficients complexes c'est un élément de ou alors une matrice Hermitienne c'est un élément de .

Ensuite une matrice de rang plein c'est quoi ? C'est une matrice dont toutes les lignes sont linéairement indépendantes. Donc la première ligne c'est un élément de , puis la deuxième ligne c'est toujours un élément de mais orthogonale à la première ligne, donc c'est un élément de , la troisième ligne c'est un élément de , et une matrice de rang plein c'est un élément de

Une matrice Hermitienne de rang plein c'est donc un élément de


Et si l'on accepte que (1)

alors dans :

est un élément de
est un élément de
et donc on devrait trouver une bijection permettant de voir comme un élément de

Vous en pensez quoi ? Je pense que le problème c'est (1) je ne suis pas complètement sûr que ça soit vrai. Ensuite il s'agit expliciter les bijections notamment celle qui transforme une matrice unitaire en un vecteur de .

Merci !
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[acx01b]

bon j'ai encore dit n'importe quoi, ce que j'ai décrit (le ) c'est en fait pour une matrice unitaire ou orthonormale et non pas pour une matrice de rang plein.
en fait c'est plus facile de "compter" le nombre de degrés de liberté d'une matrice orthonormée qu'une matrice de rang plein. et donc ça doit vous paraître évident mais je viens de m'en rendre compte, pour compter le nombre de degrés de liberté d'une matrice orthonormée autant le faire directement que de passer par la diagonalisation de matrices Hermitiennes..

après si on compte le nombre de degrés de liberté d'une matrice unitaire 2x2, on trouve 3 complexes divisé par 2 normes, soit 6 réels divisé par 2 réels positifs, ou encore .

On peut considérer qu'une matrice (complexe) unitaire 2x2 c'est un élément de .

Une matrice réelle orthonormée 2x2 c'est une matrice de rotation suivie optionnellement d'une symétrie. On peut donc la définir par un réel de pour la rotation plus un autre réel de pour l'axe de symétrie. Au final c'est un élément de (je ferme le deuxième intervalle pour prévoir une valeur indiquant qu'il n'y a pas de symétrie). Je me demande si on peut faire le même genre de raisonnement avec une matrice complexe orthonormée 2x2.

[Seirios]

Bonjour,

Ta question est curieuse, puisque a toujours le même cardinal quel que soit . Du coup, il est clair que l'ensemble des matrices unitaires a la puissance du continu. Ce que tu cherches semble plus se rapprocher de la dimension, non ?