Démonstration de corps - Sous-ensemble de matrices

invitebbd6c0f9 · 15/12/2013, 22h49

Bonsoir! (ça faisait longtemps hihi)

J'espère que vous allez bien

Personnellement, je bloque sur un point d'une démonstration, elle consiste à montrer que le sous-ensemble $\text{[math]}$ des matrices de forme $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ forme un corps. J'ai tout réussi jusqu'au moment de démontrer que tout élément différent de $\text{[math]}$ possède un inverse multiplicatif appartenant à $\text{[math]}$ bien sûr.

Je me suis dit que j'allais calculer $\text{[math]}$ , en fixant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et en calculant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Je me retrouve alors avec le système $\text{[math]}$ , que je n'arrive pas à résoudre...

Si quelqu'un veut bien me dire si je suis sur la bonne piste ou comment résoudre ce système, merci beaucoup !

Merci d'avance ^^

Cordialement

**Médiat** · 16/12/2013, 05h29

Bonjour,

1) Connaissez-vous l'inverse d'une matrice 2x2 dans le cas général, et les conditions pour qu'il existe ?
2) sinon, vous avez écrit un système de2 équations à 2 inconnus : facile à résoudre.

**Seirios** · 16/12/2013, 07h25

Bonjour,

Une autre possibilité est de deviner le résultat en regardant à quoi ressemble ton corps : $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ . Cela ne te rappelle rien ?

invitebbd6c0f9 · 16/12/2013, 16h09

Bonjour !

Envoyé par Médiat

Bonjour,

1) Connaissez-vous l'inverse d'une matrice 2x2 dans le cas général, et les conditions pour qu'il existe ?
2) sinon, vous avez écrit un système de2 équations à 2 inconnus : facile à résoudre.

1) J'ai trouvé que l'inverse d'une matrice $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ dans le cas général est $\text{[math]}$ .

Donc logiquement l'inverse de ma matrice $\text{[math]}$ devrait être $\text{[math]}$ .

J'ai vérifié et cela s'avère totalement correct =D

2) J'ai pu ramener le système à $\text{[math]}$ et en résolvant basiquement j'ai obtenu $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , ce qui est plutôt bon signe. ^^

Envoyé par Seirios

Bonjour,

Une autre possibilité est de deviner le résultat en regardant à quoi ressemble ton corps : $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ . Cela ne te rappelle rien ?

En effet, je sais que mon ensemble et $\text{[math]}$ sont isomorphes ^^ mais je n'avais pas pensé à utiliser cette propriété.

Comme l'inverse de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , alors la matrice doit être $\text{[math]}$ , ce qui concorde une troisième fois, je peux donc penser que j'ai trouvé le bon résultat. ^^

Merci beaucoup de votre aide, et je vous dit à bientôt !

Cordialement

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**Médiat** · 16/12/2013, 16h14

je sais que mon ensemble et $\text{[math]}$ sont isomorphes

Bonsoir,

Si vous savez cela, il n'y a plus rien à démontrer, puisque $\text{[math]}$ est un corps

invitebbd6c0f9 · 16/12/2013, 18h07

Envoyé par Médiat

Bonsoir,

Si vous savez cela, il n'y a plus rien à démontrer, puisque $\text{[math]}$ est un corps

Bonsoir,

en fait, la démonstration de l'isomorphisme entre mon ensemble et les complexes et dans le point de l'exercice juste après cette démonstration ^^

Mais effectivement si on voit l'isomorphisme, la démonstration est plutôt courte ^^

Cordialement

Démonstration de corps - Sous-ensemble de matrices

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