Etude de fonction et de suite

[samentha29]

Bonjour, j'ai vraiment besoin d'aide pour cette exercice, n'ayant pas eu le temps de bien voir cette séquence, je ne comprend rien a l'exercice...
est-ce que quelqu'un peut m'aider svp ?

Partie A- Etude d'une fonction

Soit f définie sur ]0;+oo[par : f(X)=((1+x)/x )(racine carré de(1+x) -1)

1)a) Déterminer lim x →+∞ f ( x ).
b) Montrer que pour tout x de ]0 ;+∞[, f(x)=(1+x)/(1+racine de 1+x)
c) En déduire lim f(x) ,x→0
2)a) Montrer que f est dérivable sur ]0;+∞[ et que pour tout x de ]0;+∞[, f'(x)=(1+1/2 racine carré de (1+x))/(1+racine carré de (1+x))².
b) Dresser alors le tableau de variations de f sur ]0;+∞[
c)Montrer que :f([1/2;1])C[1/2;1].

Partie B-Etude d'une suite:

Soit(Un)définie par : Uo =1 et Un+1=f(Un).

1)Montrer, par récurrence, que pour tout n de N,Un ∈ [1/2;1].

2)Montrer,par récurrence,que pour tout n de N,Un+1 est plus petit que Un
3)En déduire que (Un)converge vers un réel a solution de l'équation f(x)=x.

Partie C-Propriété de a:

Soit g définie sur [0;+∞[ par g(x)=x^3+x²-1
1)Montrer que g est strictement croissante sur [0;+∞[
2)Montrer que pour tout x de [0;+∞[,f(x)=x⇔g(x)=0. En déduire que a est l'unique solution dans [0;+∞[ de l'équation g(x)=0. 
3)Donner un encadrement d'amplitude 10^-3 de a.
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[PlaneteF]

Bonjour,

Qu'as-tu fait ? ... Où bloques-tu ? ... Difficile de t'aider si tu ne nous dis rien !


Cordialement

[samentha29]

j'ai déja du mal avec la question 1)a)éterminer lim x →+∞ f ( x ).

1a) lim en +infini de (1+x)/x=1 et lim de (rac(1+x) - 1 = +infini mais après je bloque...

j'ai aussi du mal pour les autres questions de la partie A

[gg0]

Bonjour.

Quand tu multiplie un nombre qui se rapproche de 1 par un nombre qui devient de plus en plus grand, que se passe-t-il ?
la plupart des calculs de limite sont simplement intuitifs, il suffit de réfléchir à l'idée qui est derrière (et d'avoir un peu calculé par soi-même).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Pour la question 1)b), multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée de , à savoir

Cdt

[samentha29]

réponse a ggO: il augmente de plus en plus lui aussi , mais je vois pas trop a quoi ça sert !

PlaneteF: b) Montrer que pour tout x de ]0 ;+∞[, f(x)=(1+x)/(1+racine de 1+x)

(1+x). racine carré de (x+1)+1=Racine carré (x+1) . 1 + racine carré (x+1) . x + 1 . 1 + 1 . x
=racine carré (x + 1)² + racine carré ((x + 1)x)² +1² + 1x²
=(x + 1) + (x +1).x² + 1+x²
=x+1+x²+x²+1+x²
=3x²+x+2

C'est ca ?

[gg0]

réponse a ggO: il augmente de plus en plus lui aussi , mais je vois pas trop a quoi ça sert !

Ben .. ça donne la limite !

Tu as peut-être aussi dans ton cours (apprends-le !) ce qui se passe pour la limite d'un produit de deux fonctions dont l'une tend vers une limite finie non nulle et l'autre vers l'infini (+ ou -).

Cordialement.

NB : Mon pseudo est gg0 pas ggO : une lettre doublée et un chiffre.

[PlaneteF]

PlaneteF: b) Montrer que pour tout x de ]0 ;+∞[, f(x)=(1+x)/(1+racine de 1+x)

(1+x). racine carré de (x+1)+1=Racine carré (x+1) . 1 + racine carré (x+1) . x + 1 . 1 + 1 . x
=racine carré (x + 1)² + racine carré ((x + 1)x)² +1² + 1x²
=(x + 1) + (x +1).x² + 1+x²
=x+1+x²+x²+1+x²
=3x²+x+2

C'est ca ?

Je ne comprends pas trop ce que tu cuisines

Fais comme je te l'ai indiqué :




Au numérateur tu vois apparaître qui est de la forme du produit remarquable


Cdt

[samentha29]

merci a tous de m'avoir aider, j'ai finalement réussi l'exercice