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Etude de fonction et de suite



  1. #1
    samentha29

    Etude de fonction et de suite

    Bonjour, j'ai vraiment besoin d'aide pour cette exercice, n'ayant pas eu le temps de bien voir cette séquence, je ne comprend rien a l'exercice...
    est-ce que quelqu'un peut m'aider svp ?

    Partie A- Etude d'une fonction

    Soit f définie sur ]0;+oo[par : f(X)=((1+x)/x )(racine carré de(1+x) -1)

    1)a) Déterminer lim x →+∞ f ( x ).
    b) Montrer que pour tout x de ]0 ;+∞[, f(x)=(1+x)/(1+racine de 1+x)
    c) En déduire lim f(x) ,x→0
    2)a) Montrer que f est dérivable sur ]0;+∞[ et que pour tout x de ]0;+∞[, f'(x)=(1+1/2 racine carré de (1+x))/(1+racine carré de (1+x))².
    b) Dresser alors le tableau de variations de f sur ]0;+∞[
    c)Montrer que :f([1/2;1])C[1/2;1].

    Partie B-Etude d'une suite:

    Soit(Un)définie par : Uo =1 et Un+1=f(Un).

    1)Montrer, par récurrence, que pour tout n de N,Un ∈ [1/2;1].

    2)Montrer,par récurrence,que pour tout n de N,Un+1 est plus petit que Un
    3)En déduire que (Un)converge vers un réel a solution de l'équation f(x)=x.

    Partie C-Propriété de a:

    Soit g définie sur [0;+∞[ par g(x)=x^3+x²-1
    1)Montrer que g est strictement croissante sur [0;+∞[
    2)Montrer que pour tout x de [0;+∞[,f(x)=x⇔g(x)=0. En déduire que a est l'unique solution dans [0;+∞[ de l'équation g(x)=0. 
    3)Donner un encadrement d'amplitude 10^-3 de a.

    -----


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  3. #2
    PlaneteF

    Re : Etude de fonction et de suite

    Bonjour,

    Qu'as-tu fait ? ... Où bloques-tu ? ... Difficile de t'aider si tu ne nous dis rien !


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/11/2013 à 09h29.

  4. #3
    samentha29

    Re : Etude de fonction et de suite

    j'ai déja du mal avec la question 1)a)éterminer lim x →+∞ f ( x ).

    1a) lim en +infini de (1+x)/x=1 et lim de (rac(1+x) - 1 = +infini mais après je bloque...

    j'ai aussi du mal pour les autres questions de la partie A

  5. #4
    gg0

    Re : Etude de fonction et de suite

    Bonjour.

    Quand tu multiplie un nombre qui se rapproche de 1 par un nombre qui devient de plus en plus grand, que se passe-t-il ?
    la plupart des calculs de limite sont simplement intuitifs, il suffit de réfléchir à l'idée qui est derrière (et d'avoir un peu calculé par soi-même).

    Cordialement.

  6. #5
    PlaneteF

    Re : Etude de fonction et de suite

    Pour la question 1)b), multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée de , à savoir

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/11/2013 à 12h40.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    samentha29

    Re : Etude de fonction et de suite

    réponse a ggO: il augmente de plus en plus lui aussi , mais je vois pas trop a quoi ça sert !

    PlaneteF: b) Montrer que pour tout x de ]0 ;+∞[, f(x)=(1+x)/(1+racine de 1+x)

    (1+x). racine carré de (x+1)+1=Racine carré (x+1) . 1 + racine carré (x+1) . x + 1 . 1 + 1 . x
    =racine carré (x + 1)² + racine carré ((x + 1)x)² +1² + 1x²
    =(x + 1) + (x +1).x² + 1+x²
    =x+1+x²+x²+1+x²
    =3x²+x+2

    C'est ca ?

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  10. #7
    gg0

    Re : Etude de fonction et de suite

    réponse a ggO: il augmente de plus en plus lui aussi , mais je vois pas trop a quoi ça sert !
    Ben .. ça donne la limite !

    Tu as peut-être aussi dans ton cours (apprends-le !) ce qui se passe pour la limite d'un produit de deux fonctions dont l'une tend vers une limite finie non nulle et l'autre vers l'infini (+ ou -).

    Cordialement.

    NB : Mon pseudo est gg0 pas ggO : une lettre doublée et un chiffre.

  11. #8
    PlaneteF

    Re : Etude de fonction et de suite

    Citation Envoyé par samentha29 Voir le message
    PlaneteF: b) Montrer que pour tout x de ]0 ;+∞[, f(x)=(1+x)/(1+racine de 1+x)

    (1+x). racine carré de (x+1)+1=Racine carré (x+1) . 1 + racine carré (x+1) . x + 1 . 1 + 1 . x
    =racine carré (x + 1)² + racine carré ((x + 1)x)² +1² + 1x²
    =(x + 1) + (x +1).x² + 1+x²
    =x+1+x²+x²+1+x²
    =3x²+x+2

    C'est ca ?
    Je ne comprends pas trop ce que tu cuisines

    Fais comme je te l'ai indiqué :




    Au numérateur tu vois apparaître qui est de la forme du produit remarquable


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/11/2013 à 19h38.

  12. #9
    samentha29

    Re : Etude de fonction et de suite

    merci a tous de m'avoir aider, j'ai finalement réussi l'exercice

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