Arithmétique de base

[invite2ec994dc]

Bonjour,

Existe-t-il un ensemble infini de nombre entiers relatifs non nul tel que :

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Cordialement.
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[gg0]

Oui.

Il y a un ensemble très évident. A condition de considérer que . Car généralement désigne l'ensemble des couples d'éléments de A.

Ce n'est d'ailleurs pas un exercice particulièrement difficile, il est à la portée d'un lycéen.

Cordialement.

[invite2ec994dc]

Effectivement, ce n'est pas difficile de répondre à cela mais si j'ajoute la condition :

-pour tout entier p, il existe a dans tel que : p|a.

[gg0]

C'est pas plus compliqué ! j'ai la même réponse en tête.

Des nombres d'une catégorie simple qui se conservent par multiplication et pas par addition, on connait depuis les anciens grecs, qui s'en servaient pour raisonner.

je ne sais pas à quoi tu joues, mais tes petites énigmes sont des exercices élémentaires.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ec994dc]

C'est pas plus compliqué ! j'ai la même réponse en tête.

Des nombres d'une catégorie simple qui se conservent par multiplication et pas par addition, on connait depuis les anciens grecs, qui s'en servaient pour raisonner.

je ne sais pas à quoi tu joues, mais tes petites énigmes sont des exercices élémentaires.

Cordialement.

Je serais très curieux de la connaître...

PS : cela ne marche pas pour les ensembles du types m,n entiers tel que : A=n*Z+m, avec Z l'ensemble des relatifs...
1/m=0 à cause de la première condition.
2/m<>0 à cause de la dernière condition.

Cordialement.

[Médiat]

Il y a une solution évidente :

[invite2ec994dc]

Vous donnez cette réponse car vous n'avez pas fait attention à la 4 et dernière condition, que j'ai donné après :
1/A infini
2/A absolument pas additif.
3/la multiplication est une l.c.i. pour A
4/La condition de divisibilité.

Avec cette condition voyez vous toujours une réponse faisant appelle à l'arithmétique de base, si oui je vous demande de la donner car je ne la connaissais pas (dans un spolier).
Si non merci de mettre un titre adapté.

[gg0]

Effectivement,

j'avais interprété ta quatrième condition à l'envers. j'avais la même idée que Médiat (les grecs raisonnaient "par le pair et l'impair", par exemple pour prouver l’irrationalité de la racine carrée de 2). Elle fait d'ailleurs doublon avec l'exigence d'infinité, car 0 ne pouvant pas être dans A (0+0=0), les multiples des entiers successifs ne peuvent être en nombre fini.

J'entrevois une possibilité avec les puissances de 2, mais je ne suis pas un spécialiste des repunits.

Cordialement.

[gg0]

Non,

la dernière condition bloque toujours.

Bon, j'ai des travaux à faire ...

Mais je sens que tu vas donner une solution

[invite2ec994dc]

J'ai un indice mais j'attend que Médiat réponde pour le donner.

[invite2ec994dc]

Je vais écraser un peu mon égo et voilà l'indice :
-c'est une question de culture générale mathématiques, et il ne faut pas perdre de vu quand même le titre initiale de ce fil.

[Médiat]

J'ai un indice mais j'attend que Médiat réponde pour le donner.

1) L'énoncé de départ est incomplet
2) Je suis particulièrement rétif à ce genre d'injonction manipulatrice, aussi ne répondrai-je pas.
3) Des solutions très simples (en quantité infinie) font appel à un théorème extrêmement connu (dont l'énoncé est compréhensible dès le lycée pour ne pas dire le collège).

[invite2ec994dc]

...3) Des solutions très simples (en quantité infinie) font appel à un théorème extrêmement connu (dont l'énoncé est compréhensible dès le lycée pour ne pas dire le collège).

Bravo, mais il fallait mieux donner votre réponse dans un spolier.

[invite9dc7b526]

Tu peux prendre l'ensemble des cubes des nombres strictements positifs, puisque la somme de deux cubes n'est jamais un cube (d'après Fermat) et le produit de deux cubes est un cube. Tu peux aussi prendre juste les cubes des nombres premiers.

[invite2ec994dc]

1/Tu peux prendre l'ensemble des cubes des nombres strictements positifs, puisque la somme de deux cubes n'est jamais un cube (d'après Fermat) et le produit de deux cubes est un cube.2/ Tu peux aussi prendre juste les cubes des nombres premiers.

1/Effectivement.
2/Non, car A*A=A.

[invite9dc7b526]

Ah en effet!!

donc on a pour A les ensembles constitués des puissances n-ièmes de nombres entiers positifs, un pour chaque n>2. On a aussi les ensembles des puissances n-ièmes des nombres supérieurs à un certain entier donné, à condition de leur ajouter le nombre 1. Y en a-t-il d'autres?

[invite2ec994dc]

Ah en effet!!

donc 1/on a pour A les ensembles constitués des puissances n-ièmes de nombres entiers positifs, un pour chaque n>2. 2/ On a aussi les ensembles des puissances n-ièmes des nombres supérieurs à un certain entier donné, à condition de leur ajouter le nombre 1.3/ Y en a-t-il d'autres?

1/ Effectivement, il me semble.
2/ Effectivement.
3/Je ne sais pas.
Il me semble que le théorème de Fermat est valable pour les entiers relatifs (non nul) aussi.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Dernier...A8me_de_Fermat voir à Méthode de la démonstration : Principe.