Produit racines n-ièmes

[invite83569f81]

Bonjour,

Je ne comprend pas pourquoi mon calcul est faux, dans un exercice, on a n∈ℕ\{0;1}

j'ai besoin de calculer w^n(n-1)/2 où w=e^2iπ/n.

Selon moi : w^n(n-1)/2 = (wⁿ)^(n-1)/2 = 1^(n-1)/2 = 1.

Selon la correction : w^n(n-1)/2 = (w^n/2)^n-1 = (-1)^n-1

Où est mon erreur ? Pourquoi le fait de séparer de deux manière différente mon n(n-1)/2 donne deux résultats différents ? Merci
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[gg0]

Si n est impair, c'est bien le même résultat.

Les deux calculs sont fautifs, car une puissance demi-entière est mal définie sur . Le bon calcul est :


Rappel : Si a et b sont des réels, la règle est valide, mais ne fonctionne plus si on remplace e par un complexe quelconque. Sauf dans des cas particuliers, comme par exemple a et b entiers.

Cordialement.

[invite83569f81]

D'accord donc dans les deux versions c'est maladroit de mettre une puissance non entière en "facteur" ? ( (n-1)/2 dans mon cas et n/2 dans la correction).

Tandis que l'écriture que vous proposez revient en fait à la formule de Moivre : ∀a∈R, ∀n∈Z, (e^ia)ⁿ=e^ina avec a=2π/n et n=n(n-1)/2 qui est bien entier Ensuite ça se simplifie et on obtient bien le résultat attendu par la correction.

Merci beaucoup