Comment monter un implication contenant des variable ?

[ayoubbbe]

bonsoir tout le monde

quand j'ai commencé à étudié le chapitre de la logique j'ai rencontré que l'implication est une relation entre deux propositions mais un proposition ne doit pas contenir des variables par contre il y'a des implication comme cela "x<0 implique x^2 strictement positive " mais "x<0" et " x^2 strictement positive" ne sont pas des propositions mais j'ai déduit que pour montrer ces implication c'est équivalent a montrer la proposition suivante " pour tout x réelle x<0 implique x^2 strictement positive " est-ce que j'ai raison ?
merci d'avance pour votre aide
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[PlaneteF]

Bonsoir,

En fait l'énoncé que tu prends en exemple ne rentre pas dans le cadre de la logique propositionnelle, mais dans celui de la logique du premier ordre (appelé aussi calcul des prédicats) qui peut être vue comme une extension de la logique propositionnelle (avec une syntaxe enrichie par des variables libres ou liées, par les quantificateurs et et par des symboles de langage comme les relations n-aires, ... les règles de démonstration étant étendues de la même manière).

Maintenant pour répondre plus précisément à ta question, le dernier énoncé que tu proposes est valable à la condition d'utiliser le bon parenthésage. En effet on a les règles de priorité suivantes (entre autres, c'est-à-dire celles qui concernent ton énoncé) : Les symboles de relation , sont prioritaires sur le quantificateur , qui est prioritaire sur le symbole d'implication. En conclusion il faut mettre des parenthèses de la manière suivante :


Cordialement

[PlaneteF]

Remarque : Ici la variable est dite liée. En effet tu peux très bien exprimer ton énoncé en remplaçant par (par exemple). Syntaxiquement ces 2 énoncés ne sont pas égaux, mais ils sont équivalents. On parle alors de formules -équivalentes, considérées comme identiques.

Cdt

[Médiat]

Bonjour,

J'ajoute une précision aux réponses de PlaneteF: l'axiome (ou règle)* de généralisation :



C'est à dire que si vous êtes capable de démontrer une formule , où est un symbole de variable, alors vous avez une démonstration de .

(*) "Règle" est plus précis (mais axiome est souvent utilisé) puisque cette une règle de démonstration et non un axiome d'une théorie spécifique (au même titre que le modus ponens, par exemple).

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

avec une syntaxe enrichie par des variables libres ou liées, par les quantificateurs et et par des symboles de langage comme les relations n-aires, ... l

Petite précision sur le texte en citation : Rédigé comme je l'ai fait, on pourrait comprendre qu'il existe des symboles de variables libres et des symboles de variables liées, comme s'il s'agissait d'une notion à priori. Ce n'est bien évidemment pas le cas, une variable est considérée comme libre ou liée lorsqu'elle est utilisée dans une formule, et c'est l'action d'un quantificateur comme "mutificateur" sur une variable qui rend cette dernière liée dans une formule donnée, ... les autres variables sont dites libres.


Tant que j'y suis :

... les règles de démonstration étant étendues de la même manière).

Idem pour la sémantique avec la notion de modèle.


Cdt

[ayoubbbe]

merci beaucoup pour votre aide j'ai compris pas mal de chose